!^|§ i&êIp 
&&PW. Wo#»* 
'l&sSi «&?*• 
g|&g» SSW; 
... W ? ’V« V.\ 
ft 
>«■ 
•> ,. ,- 
WmSËm 
: -‘-'h.; V ,* 
Ueber eine merkwürdige kubische Gleichung, deren Wurzeln 
sämmtlich reell sind’ 5 '). 
Die kubische Gleichung 
a — X, h, r/ 
h, b — X, f 
9, f, c ^ 
hat lauter reelle Wurzeln. 
Um dies zu beweisen, zeige man, dass die vorgelegte Gleichung 
(a — X)(b — X)(c — X) — {a — X)f 2 — (b — X)g 2 
- (c — A)/i 2 + 2fgh = 0 
zu begrenzenden Gleichungen der Wurzeln*) **) die drei quadratischen 
Gleichungen hat, welche entstehen, wenn zwei der Grössen f, g, h 
verschwinden. 
Seien a und ß die Wurzeln der Gleichung 
(X — d){X — b) — li 2 = 0 , 
welche entsteht, wenn f — g — 0 gesetzt wird. Die Wurzeln sind 
a und ß = (a -f- b) + ~ )/(« — b) 2 -f- 4/i 2 . 
a ist grösser als a und b, ß kleiner. Wenn man nun für 
in der vorgelegten Gleichung die Werthe -j- oo, a, ß, — oo ein 
setzt, so ergeben sich nacheinander die Resultate 
+, — [fV<* — a ±9V a ~ W, + [fVa — ß±9Vb — ßY, - 
Es liegen also gemäss § 7 drei reelle Wurzeln der vorgelegten 
Gleichung zwischen diesen Grenzwerthen der Function; die eine ist 
> a, die zweite liegt zwischen a und /3, die dritte ist < ß. 
197. Formeln von Young, zwei Wurzeln einer kubischen 
Gleichung auszudrücken, wenn die dritte gegeben ist***). 
l r oung gibt die folgenden Formeln für zwei Wurzeln x 2 und 
x. 
3 der kubischen Gleichung 
x 3 -f- px -f- 9 — 0 > 
*) Hymers, Theorie of algebraical équations, p. 66. Cambridge 1840. 
Mansion, Elements delà théorie des déterminants. Bruxelles et Mous 1875. 
Gerono, N. ann. math. XXXI. p. 305. 1872. * 
G. Bauer, Journ. f. die reine und angewandte Mathem. 71. Bd. S. 40. 
S. Günther, Lehrbuch der Determinanten. S. 152. Erlangen 1877. 
**) Hymers, A treatise on the theory of algebraical équations. § 52. 
***) Young, The analysis and solution of cubic and biquadratic équations. 
London 1842. Man vergleiche auch Lobatto, Note sur les racines d’une 
équation du troisième degré. Journ. Math. IX. p. 177. Paris 1844. 
fiS