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£ 6 -f | a^5 _j_ | (3 a 2 _|_ 2&)^ + j (a 3 + 4ab)z 3 
+ ^ (2a 2 & + ac 4- b 2 — 4ci),s 2 4- ^ (a 2 c 4- ab 2 — 4acD# 
16 oZ 
— (a 2 ^ — abc 4- c 2 ) = 0 . 
Dieselbe findet sich bei Lacroix (1804), Blomstrand (1847), 
Sc hl es icke (1851), Job (1864) und ist identisch mit der Gleichung 
der halben Wurzelsummen oder der arithmetischen Mittel je zweier 
Wurzeln der vorgelegten Gleichung. Die Bildung dieser Gleichungen 
ist in § 19 gelehrt worden und es möge hier dieselbe noch speciell 
für die biquadratische Gleichung vorgenommen werden. Es sei zu 
diesem Zwecke angenommen 
| (Pi 4" «*) = * , j Og — *a) = % • 
Dann ist allgemein x — x'-j-z. Man erhält nun die Gleichung 
der arithmetischen Mittel der Wurzeln, wenn man x' eliminirt 
aus den beiden Gleichungen 
I. {x 4- #) 4 4- a(x' 4- zf + b{x 4- z) 2 4- c{x' 4- z) 4- d = 0, 
II. {x — £) 4 — a{x — zf 4-b{x — zf — c(x' — z) 4- d = 0. 
Die übrig bleibende Function ist dann 
(x t x 2 — 2 z) (x t 4- ^3 — 2z)(x 1 + x 4 — 2 z)x 
(x 2 4~ x 3 — 2 z) (x 2 4~ x 4 — 2z)(x 3 4- x 4 — 2 z) = 0 . 
Entwickelt man die Gleichungen I. und II., so ist die halbe 
Summe derselben 
III. x' 1 4~ (ßz 2 4~ 3a,2 + b)x' 2 4- (z 4 az 3 -\-bz 2 cz -\-d) = 0 
die halbe Differenz 
IY. (4z 4- a)x' 3 4“ (4'3 3 4~ 3a£ 2 + 4~ c ) x ' = 0 • 
Dividirt man die letzte Gleichung durch x und setzt den Werth 
x 2 in die vorhergehende ein, so erhält man die Reducente 
a 2 d — aßy d 2 — 0 . 
Die Formen der beiden Gleichungen III. und IY. legen es uns 
nahe, eine derartige Theilung des Polynoms vorzunehmen, wie es 
auch von Francoeur*) .und Schlesicke**) direct ausgeführt 
*) Cours compl. de mathem. II. § 581. Paris 1837. Man vergl. auch 
oben § 214. 
**) Grün. Arch. XVI. 58. 1850. 
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Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. V.