56 Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. VIII. 
einander multiplicirt, lauter kubische Potenzen der Unbekannten x. 
Man bildet also den Ausdruck 
p 3 -f- q 3 -f- r 3 — 3pqr — 0, 
welcher nach Potenzen von x geordnet die gesuchte Gleichung sein 
wird. Wir wollen hierbei das Gesetz der Coefficienten nicht weiter 
verfolgen. 
VIII. Die symmetrischen Functionen der Wurzeln. 
§ 26. Begriff der symmetrischen Functionen. 
Ausser den in § 10 betrachteten Beziehungen der Wurzeln 
einer Gleichung zu deren Coefficienten, den Geminanten und Dis- 
criminanten, lassen sich noch viele andre rationale Beziehungen 
zwischen den Wurzeln und Coefficienten auffinden, deren Kenntniss 
für die Theorie der Gleichungen von Wichtigkeit ist. Diejenigen 
Relationen, welche sämmtliche Wurzeln auf eine ähnliche Art ent 
weder unter sich oder mit andern Grössen verbunden in sich 
schliessen, nennt man symmetrische Functionen der Wurzeln. 
Man erkennt dieselben im Allgemeinen daran, dass sie ihren Werth 
nicht ändern, welche Permutationen man auch mit den Elementen 
vornimmt, woraus sie bestehen. Die wichtigsten Formen derselben 
sind: 
x™ + X™ -f x™ + H (- X™ = 2J[x™] = S m 
x™ x$ + x™ xf + x™ x$ H 1- xp_ x = 2J[x™ xf] = S m>P 
x? x £ asg + x?x%xl+x™x{x\ H 1- a%x*_ 1 xß n _ 2 =2J[x™ x$x%] = S m , p , q 
u. s. w. 
Der erste Ausdruck ist die Summe aller n Wurzeln zur w ten Potenz 
und hat ^ ^ Glieder. 
Der zweite Ausdruck ist gebildet aus sämmtlichen Variationen 
ohne Wiederholungen aller n Wurzeln zur zweiten Klasse und ent 
hält 2 ^ ^ Glieder. 
Der dritte Ausdruck ist gebildet aus sämmtlichen Variationen 
aller n Wurzeln ohne Wiederholung zur dritten Klasse und enthält 
3 ! ^ 3 ^ Glieder. 
Man bezeichnet die erste dieser symmetrischen Functionen kurz