§ 27. Die Newton’schen Formeln. 
59 
Werth S m auch für m > n zu erhalten, multiplicire man die Stamm 
gleichung mit x" l ~ n , also 
x m -j- ax m ~ 1 -j- bx m ~ 2 -}-••• -f- tx m ~ n — 0. 
Substituirt man für x successive die Wurzeln x x x 2 ... x n , und sum- 
mirt diese n Gleichungen, so geht daraus hervor 
S m -f- a S m —1 + bS m —2 + • • • + tS m —n = 0 . 
Nun ist selbstverständlich 
S 0 — X± -(- X 2 -f- X 3 ° -f- • • • -f- Xn = w, 
und wenn man für m successive substituirt n 7 n -f- 1, n -f- 2, so 
ergibt sich 
S n “h Ot S n —i -f- 1) S n —2 -(-••• -f- n t = 0, 
Sn-f-l -f- aS n -f- bS n —i -(-••• -f- tS l — 0, 
S n -\-m “h aSn+m—l -f- &O ra -f m _2 + • • • + tS m — 0. 
Die Summen der aufeinander folgenden Potenzen der Wurzeln 
einer Gleichung bilden eine sogenannte recurrirende Reihe, d. h. 
eine solche, in welcher eine Gleichung ersten Grades mit constanten 
Coefficienten Gültigkeit behält zwischen einer gewissen Anzahl auf 
einander folgender Glieder, woher sie auch immer genommen werden. 
Denn irgend eine der Grössen z. B. S m hängt, wenn die Gleichung 
vollständig ist, ab von den n vorangehenden durch die Gleichung 
S m -f- ClSm—1 + bS m —2 -{-••• tS m — n = 0 , 
in welcher die Constanten die Coefficienten der Gleichung sind*). 
Der Coefficignt S m und alle folgenden , S m _j_ 2 , werden auf 
einerlei Weise dadurch erhalten, dass man eine bestimmte Anzahl 
von den unmittelbar vorangehenden in umgekehrter Ordnung einzeln 
mit den Constanten a, b, c, . .. t multiplicirt. 
Diese Reihe der Constanten heisst die Relationsscala der 
recurrirenden Reihe. 
Um die Summe der gleichen negativen Potenzen zu erhalten, 
setze man in der Gleichung [N TO -}- M ] nach und nach m— — 1, —2, — 3, 
u. s. w. und bestimme daraus $_i, S— 2, u. s. w. 
Mittels der voranstehenden Methode gelingt es auch leicht 
den Werth der Reihe 
<p(x1) + cp(x 2 ) + cp 0 3 ) + • • • <p(Xn) 
*) Hymers, Theory of algebraical equations, pg. 173. § 151.