§ 24. Krümmung einer Fläche. 
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so entsteht auf Grund von (40), (43), (45) die „Eulersche 
Gleichung“: 
(VIII) | Kv = K ± cosV + Ä, sin 2 99 (Ellipse), 
( K v = K. 2 cos 2 cp + K x sin 2 cp (Hyperbel). 
Faßt man den Meusniersehen Satz (III) und den 
Eulerschen (VIII) zusammen, so ist der Krümmungsradius Jt 
eines beliebigen ebenen Schnittes durch P leicht bestimmbar; 
durch den ersteren Satz wird P auf den Krümmungsradius B v 
eines Normalschnittes zurückgeführt, und Ji v wiederum durch 
den Eulerschen Satz auf die beiden Hauptkrümmungsradien; 
die geometrische Konstruktion von JR V war bei (40) an 
gegeben. 
Man nennt die beiden Normalschnitte in P, denen die 
Hauptkrümmungsradien Ii x , Ii, angehören, die „Haupt 
normalschnitte“ der Fläche in P. Eine Kurve auf der 
Fläche, längs deren die Tangente stets in einen Haupt 
normalschnitt fällt, ist gemäß (IV) eine „Krümmungslinie“ 
der Fläche. Durch jeden Punkt P der Fläche gehen zwei 
Krümmungslinien, die sich daselbst gemäß (41), (41') recht- 
winkelig schneiden. 
Man gibt dieser Tatsache den Ausdruck: 
„Die Krümmungslinien einer Fläche bilden 
eine Orthogonalschar.“ 
Wenn die Gleichung 
zwei reelle Wur 
zeln hat, wenn also die Diskrirninante LN—M 2 negativ ist, 
so wird die Krümmung Null, d. h. der Normalschnitt weist 
dann in P einen Wendepunkt auf (§ 18, S. 225), die Tangente 
heißt eine Haupttangente der Fläche. Kurven auf der 
Fläche, deren Tangenten sämtlich Haupttangenten sind, heißen 
Haupttangentenkurven, ihre Differentialgleichung ist 
Bezüglich weiterer Entwickelung der Flächentheorie sei 
auf diese Sammlung, Bd. XXIX und XLIV verwiesen.