412 § 38. Entwickelung von Integralen in Reihen. 
Somit ist lim / — ein bestimmter endlicher Grenzwert, 
*=iJ il-x* 
0 • TZ 
von dem man wie in § 36, S. 398 zeigt, daß er gleich — ist. 
Li 
Da aber andererseits auch die Reihe (III) gemäß 
Diffr. § 22, S. 340 für x = 1 noch konvergiert, so geht aus 
(III) für x = l die Reihe für — hervor, mit der Cauchy- 
Li 
sehen Restabschätzung (15) (für x = 1). 
Eine analoge Behandlung erfährt die Umkehrung des 
hyperbolischen Sinus (§ 36, S. 396): 
C dx ,/ , r— -x 1 X 3 , 1 • 3 x'° 
( Vyf+P“ (a: + ) + ) = * _ 2 3 +274 5- + '- 
+ ( V 2.4...(2»-2)* + "-’ 
d. i. eine alternierende Reihe, die für 0 ^ x 1 nach der 
Leibnizschen Regel konvergiert. 
X 
/ clcc 
■ {x > 1) entwickeln, so bringe 
yi + ;r 2 
1 . . 1 
man vermöge der Substitution x = das Integral auf die 
Form: 
yf^+y* 
dividiere die binomische Entwickelung für 
und integriere, so kommt: ]1 + U 1 
mit y 
tri/\ C dx 7 1 1 1-31 1*3*51 
^ nIl M yfqpp ~ + x + 2 * 2x 2 ~ 2T4 Ix* + 2-4*6 6ä ,: 
1 
d. i. wiederum eine alternierende, für x 1 konvergente 
Reihe.