§ 38. Entwickelung von Integralen in Reihen. 
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Nunmehr mögen noch einige in § 34 mitgeteilte Reihen 
geprüft werden. Die untere Grenze des Integrals werde 
jeweils als variierende Konstante, die obere als Variable 
betrachtet, und die willkürliche Konstante des Integrals 
unterdrückt. Man erhält sofort (1. c. S. 369): 
(IVJ 
dx = x 
x z 
3-3! 
+ 
x 5 
5 *5! 
Die Reihe ist eine alternierende Reihe, die für jedes x 
konvergiert. Analog ergibt sich (§ 34, S. 369): 
(IV 2 ) f^dx-lx- 
J x 
Man kann sich auf positive x beschränken. 
Damit das Integral existiert, muß x ^ e > 0 sein, die 
Reihenentwickelung ist wiederum eine alternierende. 
Weiter gilt (§ 34, S. 361): 
x 2 xA 
2-2! ~ 4-4! ^ 
/ /v» 2 /y» 3 /v>w 
(IVa) j V+ r + 2^2! + 3T3I + • • • + ¿Ti!+ ■ 
Wie eben, muß x ^ e > 0 sein; die Reihenentwickelung 
CC n ^ 1 
befolgt die Cauchysche Regel: P n „ < —. , 
6 J 6 n,p (n+l)(n+l)! 1—a; 
dx zu erledigen (§34, S. 366). 
Der Grenzfall a = 0 kann ausgeschlossen werden, da er 
direkt den Wert \-{Jx) 2 liefert (§ 34, S. 363). Man unter 
scheide wiederum die beiden Hauptfälle eines positiven und 
negativen a, und bei letzterem drei Unterfälle, je nachdem 
x positiv, > — a resp. — a, oder x negativ ist, — x < — a . 
Für positives a, x> a hat man: 
Endlich ist noch 
/ 
l{x — d) 
■ ™ l ix — a) = — 
X X 
a- 
a- 
+ • • 
(V) jUi* 
d) dx — {Ix) 2 + 
2x A 3# 4 
|_ j_ 
r. 2 2 /r 2 
3 2 .« ;