§. 65. 
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strecke u l v l (I. §. 154) gemessen; der andere ist imaginär, auf 
ihm schneiden die Diagonalen a,c n h,d, eine Strecke st ah, die der 
absolute Werth seiner Länge ist. 
Wählt man auf B die Pole r l , r* so, dass die Strahlen 
Or x , Or\ die beiden Winkel pOp i hälften, so sind die auf 
einander normalen Durchmesser die reelle und die imaginäre 
Axe der Hyperbel. Man bezeichnet deren Längen mit 2 a, 25, 
eben so die der zugeordneten Durchmesser mit 2a 15 2a 2 , ..., 
2h x , 25 2 , .... Die Endpuncte der reellen Axe sind die Scheitel. 
Für a = h schneiden sich die Asymptoten rechtwinklig und 
die Hyperbel ist eine gleichseitige. 
65. Aufgabe. Puncte der Hyperbel zu construiren, von der 
zwei zugeordnete Durchmesser, oder die Axen, gegeben sind. 
Man zeichne das ihr umschriebene zweitheilige Trapez ahcd, 
das zwei Seiten ah, cd parallel mit dem imaginären, zwei Diago 
nalen ac, hd parallel mit dem reellen Durchmesser hat. Aus dem 
Durchschnitte s der Diagonale ac mit dem imaginären Durchmesser 
führe man die Transversalen. Irgend eine derselben schneidet die 
Seite ad in z, die in und die Strahlen uz,vy 00 (dieser 
parallel zu sz) liefern einen Pnnct h 
Wir nehmen die Durchmesser (oder Axen) uv, st als Coordinaten- 
axen X, Y und setzen nh = x, M — y. Die parallelen Strahlen 
vy^, sz schneiden st, ah in w, e, und es sei nw — ae = X -h. Für f 
als Durchschnitt von ca, uz ist of = l • a, w T eil ns: ae = nz : az = 
nu: af. 
Nun ist: 
nv 
nw 
af 
au 
hv , a 
Wk oder Th 
y 
x — a 
hu X • a 
lik ' h y 
Die Multiplication dieser Gleichungen ergiebt 
h 2 
oder a 2 y 2 — h 2 x 2 = — a 2 h 2 
als Gleichung der Hyperbel. 
Aus derselben erhält man, wie bei der Ellipse (§. 42) den 
h 2 
Halbmesser q — — des Krümmungskreises im Scheitel ; die Axe 
uv wird von der in c auf die Asymptote nc errichteten Normalen 
in dessen Mittelpuncte tu geschnitten. 
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der zw< 
1) 
für der 
Pnnct i 
pq ist i 
Dil 
Denn d 
Yierseii 
ua — n 
harmon 
parallel 
2) 
schneid 
3) 
von de: 
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Ni: 
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Gleichu 
67 
des Kn 
Linie h 
mit des 
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meters 
Ma 
mit dei 
Affinitä 
berührt 
messet’ 
Parabel 
nehme 
Tangen 1 
Punct 
oder gl 
nehme