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§. 67. 
66. Aufgabe. Tangenten der Hyperbel zu construiren, von 
der zwei zugeordnete Durchmesser gegeben sind. 
1) Man zeichne, wie oben, das Trapez abcä und verfahre wie Mg. 47. 
für den Kreis (§. 35), Ziehe die Diagonale su und durch einen 
Punct r derselben die Strahlen nr, ar, welche ab, hc in p, q schneiden; 
pq ist eine Tangente. 
Dieselbe schneidet die Seite ad in l so, dass nl:na = nh : nq. 
Denn die Asymptoten na, nh und die Tangenten ab, pq bilden ein 
Yierseit; auf dessen Diagonale qa ist r (wegen su parallel nh und 
ua = uh) die Mitte zwischen den Puncten q, a, so dass der vierte 
harmonische Punct (I. §. 171) unendlich fern liegt; daher hl 
parallel qa. Hieraus folgende Lösungen der Aufgabe. 
2) Ziehe durch a, h irgend zwei Parallelen, welche nh, na in q, l 
schneiden; Iq ist eine Tangente. 
3) Trage auf na, nh, von n aus, irgend zwei Strecken s, s 1 
von der Art, dass s-s i =na-nh; durch deren Endpuncte l, q 
geht eine Tangente. 
Nimmt man die Asymptoten na, nh als Coordinatenaxen X, Y 
und setzt nl = x, nq = y, so führt die letzte Construction zu einer 
Gleichung der Hyperbel: 
x ■ y — c 2 = a 2 H- b 2 . 
Projectionen der Linien zweiter Ordnung. 
67. Wir haben die Linien zweiter Ordnung als Projectionen 
des Kreises erlangt; umgekehrt kann als Projection einer solchen 
Linie K ein Kreis K, gelten, und es kann jede Aufgabe über sie 
mit dessen Hilfe gelöst werden, wenn sie selbst nicht gezeichnet, 
nur durch Lage und Länge 2 a, 2 b der Axen oder 2p des Para 
meters (für die Parabel) gegeben ist. 
Man richte ein ebenes Projectionssystem ein (I. §§. 138, 167) 
mit der Tangente im Scheitel u einer (reellen) Axe von K als 
Affinitäts- oder Collineationsaxe E, so dass auch K t von E in u 
berührt wird. Ist K Ellipse, so sei E Affinitätsaxe und der Durch 
messer von K t gleich der mit E parallelen Axe von K. Ist K 
Parabel oder Hyperbel, so sei E Collineationsaxe. Für die Parabel 
nehme man p als Durchmesser von K n dessen mit E parallele 
Tangente als Gegenaxe Q t , und auf dem Durchmesser um den 
Punct 0 im Abstande f p oder £ p von u je nach ungleicher 
oder gleicher Lage der Ebenen des Systems. Für die Hyperbel 
nehme man 2 b als Durchmesser von K n führe Q t durch dessen