3) Für e < r hat $ in 9i einen Kreis; ist eine ans zwei 
ungeschlossenen Theilen bestehende Fläche, wird von einer Ebene 
in einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten und (zwei 
theiliges, — manteliges, — schaliges oder) elliptisches Hyper 
boloid genannt. 
Ist 94 die (So, des Raumes (I. §. 184), so ist eine ge 
schlossene Fläche, bei der Aehnlichkeit und Congruenz eine Kugel, 
bei der Affinität ein Ellipsoid. 
Obige drei sind die elliptischen (§. 22) Flächen zweiter Ordnung, die 
hyperbolischen behandeln wir im achten Capitel. 
94. In dem besonderen Falle, dass der Mittelpunct m von 
ft in der durch 0 auf 94 gefällten Normalen liegt, und dass 
910 2 = e 2 — r 2 , ist $ y eine Kugel. 
Denn jede durch Om geführte Ebene schneidet it in einem 
Hauptkreise K; alle diese Kreise haben den gemeinschaftlichem' 
Durchmesser uv auf Om, und es ist (für r als Durchschnitt von 
Om und 91) r0 2 = ru-rv. Folglich (§. 51) entspricht jedem 
Kreise K ein Kreis K,, und alle diese haben den gemeinschaftlichen 
Durchmesser u t v, = 2 r. 
<1,0 
rO 
Hiermit ist der Satz bewiesen, und es kann jede Kugel und 
ein innerer Punct m t derselben als Projection einer anderen Kugel 
® und deren Mittelpunctes m betrachtet werden. Wie für den 
Kreis (§§. 52 — 55) erlangen wir nun entsprechende harmonische 
Eigenschaften der Kugel durch Uebertragen bekannter Eigenschaften 
derselben. 
95. Durch irgend einen Punct p gehen unzählige Geraden G 
und Ebenen @. Bestimmt man 1) auf jeder die Kugel schneidenden 
Geraden G zu ihren Durchschnitten h und zu p den vierten har 
monischen dem letzteren zugeordneten k; 2) die Gerade L, Durch 
schnitt der Berührebenen in f\ h; 3) den Punct l, Durchschnitt der 
Berührebenen in allen Puncten des Durchschnittskreises der Kugel 
mit einer Ebene @; so liegen alle Pnncte k, l und alle Geraden L 
in einer Ebene ip, der Polar ebene von p in Bezug auf die Kugel. 
schneidet letztere oder liegt ausser ihr, je nachdem p ein äusserer 
oder innerer Punct ist; sie ist die Ebene eines Hauptkreises für 
einen unendlich fernen Punct, die ©* des Raumes für den Mittel 
punct, die Berührebene für einen Punct der Fläche. 
Geht man umgekehrt von der Ebene ^P aus, so liegen in ihr 
unzählige Puncte l und Geraden L. Bestimmt man 1) zu jedem