88 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
Sie sind nicht unabhängig voneinander, sondern durch eine 
Gleichung verbunden. Durch Quadrieren von (13) ergibt 
sich nämlich 
M 2 = 
Za 2 Zada Zadx 
Zada Zda 2 Zdadx 
Zadx Zdadx Zdx 2 
Es ist aber 
nach (2) Za 2 = 1, nach (6) Zada = 0, nach (3) Zadx = 0, 
nach (8) Zda = dsl, nach (12) Zdadx = —L, nach § 15, (7) 
Zdx 2 = ds 2 , also folgt: 
(14) Jf 2 = ds 2 ds 2 0 — L 2 • 
Die vier Formen ds 2 , ds 2 0 , L, M beherrschen in Ver 
bindung mit einem später (§ 25) zu definierenden Differential 
ausdruck N die ganze Theorie der Flächenkurven, wie sich 
in § 27 zeigen wird. 
§ 21. Allgemeine Formeln für konjugierte Richtungen, 
Krümmungslinien und Asymptotenlinien. 
Wir kommen nun zur Aufstellung der Gleichungen für 
die konjugierten Richtungen, die Hauptkrümmungsrichtungen 
und Asymptotenrichtungen für die allgemeine Flächenform 
F {x, y, z) — 0, wozu wir, wie schon in § 19 angedeutet, die 
dort entwickelten, von der Indikatrix unabhängigen Defini 
tionen benutzen. 
1. Konjugierte Richtungen. 
Es sei P ein Punkt der Fläche mit den Koordinaten 
x, y, Z] P t und P 2 zwei ihm unendlich benachbarte Punkte 
mit den Koordinaten x + dx x , y + dy t , z + dz x , bezw. 
x-\-dx 2 , y-{-dy 2 , zpdz 2 . Die zugehörigen Bogenelemente 
PP x =ds x und PP 2 = ds 2 sind dann bestimmt durch die 
Gleichungen 
dsl — dxi + dy\ + dz\, ds\ — dx\ + dy\ + dz\. 
Aus der in § 19 aufgestellten Definition eines Paares 
von konjugierten Richtungen folgt nun, daß die Richtungen 
PP, und PP 2 konjugiert sind, wenn die Tangentialebene 
in P von der Tangentialebene in P 1 in einer Geraden ge 
schnitten wird, die der Richtung PP 2 parallel läuft.