§ 21. Allgemeine Formeln für konjugierte Richtungen, etc. 89 
Die analytische Bedingung hierfür ergibt sich folgender 
maßen, Die Gleichung der Tangentenebene in P ist in 
X, Y, Z als laufenden Koordinaten nach § 15, (19) und (22) 
(1) (X — x)a + {Y— y)h + {Z— e)c = 0, 
und ebenso die der Tangentialebene in P x 
(X — x — dx x ) (a + da x ) + [Y— y — dy x ) (h + db x ) 
{ ’ + (X— e — dz x ) (c + dc x ) = 0, 
wo da x , db x , dc x nach § 20, (5) für dx x , dy x , dz x statt 
dx, dy, dz zu bilden sind. Die Gleichungen (1) und (2) 
stellen die Schnittgerade der Tangentialebenen in P und P x 
dar; (2) kann unter Berücksichtigung von (1) und von § 20, (3), 
sowie unter Vernachlässigung der unendlich kleinen Glieder 
zweiter Ordnung ersetzt werden durch 
(2a) (X—x) da x + (Y—y) dh x + (Z— z) dc x = 0. 
Die Schnittgerade der Tangentialebene in P und P x ist nun 
dargestellt durch die Gleichungen (1) und (2 a); soll sie 
parallel der Richtung PP 2 sein, so muß 
(3) (X — x):{Y — z):{Z — z) = dx 2 : dy 2 : dz 2 
sein. Aus (2 a) und (3) folgt nun die gesuchte Bedingungs 
gleichung 
(4) da x dx 2 + dh x dy 2 -j- dc x dz 2 = 0. 
Da die Beziehungen zwischen den konjugierten Rich 
tungen reziprok sind, so kann man (4) auch ersetzen durch 
(4 a) da 2 dx x + dh 2 dy x + dc 2 dz x = 0. 
Analytisch zeigt sich die Übereinstimmung von (4) 
und (4a) sofort, wenn man für da, dh, de die Werte aus 
§ 20 (5) einsetzt (vgl. auch unten Gl. 17). Es ergibt 
sich also 
Satz 1. Konjugiert sind zwei von P aus gehende 
Richtungen PP X und PP 2 , oder zwei Linienelemente 
ds x und ds 2 auf der Fläche, wenn die Gleichung (4) 
oder (4a) besteht. 
Aus (4) bezw. (4 a) folgt der 
Zusatz 1. Zwei Linienelemente ds x und ds 2 sind 
konjugiert, wenn das eine auf dem sphärischen 
Bild des anderen senkrecht steht.