90 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x, y, z) = 0. 
2. Die Hauptkrümmungsrichtungen 
waren in § 19 definiert als diejenigen zwei Richtungen, die 
zugleich konjugiert und orthogonal sind. 
Sind wieder PP X und PP 2 , bezw. ds x und äs 2 zwei 
von P aus gehende Richtungen, so ist nach (4) die Bedingung 
dafür, daß sie konjugiert sind 
(5) da x dx 2 + db x dy. 2 -f- dc x dz 2 = 0 
und die Bedingung der Orthogonalität nach § 15, (17) 
(6) dx x dx 2 + dy x dy 2 + dz x dz 2 = 0. 
Dazu kommt nach § 20, (3) die Gleichung 
(7) a dx 2 +b dy 2 + c dz 2 = 0. 
Eliminiert man aus (5), (6) und (7) dx 2 , dy 2 , dz 2 , so 
erhält man die Bedingung dafür, daß PP 1 eine Haupt 
krümmungsrichtung ist, nämlich 
a da x dx x 
b db x dy x 
c dc x dz x 
= 0. 
Vertauscht man den Index 1 mit 2, so erhält man die 
Bedingung dafür, daß PP 2 eine Hauptkrümmuugsrichtung 
ist. Wir haben also den 
Satz 2. Die zwei Hauptkrümmungsrichtungen 
in einem Punkt P{x,y,z) einer Fläche sind bestimmt 
durch die Gleichung 
(8) 
ilf= 
a da dx 
b db dy 
c de dz 
Führt man für da, db, de die Werte aus § 20, (5) ein, 
so geht M, wie schon in § 20 bemerkt, in einen homogenen 
Differentialausdruck zweiten Grades in dx, dy, dz, und gibt 
in Verbindung mit § 20, (3) die Verhältnisse dx:dy:dz, 
welche den Plauptkrümmungsrichtungen zukommen. 
3. Asymptotenrichtungen. 
Eine Asymptotenrichtung war in § 19 definiert als 
Richtung, die mit ihrer konjugierten zusammenfällt. Soll 
also PP X eine Asymptotenrichtung sein, so muß die kon