§ 21. Allgemeine Formeln für konjugierte Richtungen etc. 91 
jugierte Richtung PP 2 mit PP 15 oder der Punkt P 2 mit 1\ 
zusammenfallen. Die Bedingung dafür ist nach (4) 
(9) da x dx 1 + d\ dy 1 + dc x dz x = 0. 
Für die Richtung PP 2 gilt die entsprechende Bedingung 
mit dem Index 2. Also folgt der 
Satz 3. Die zwei Asymptotenrichtungen in einem 
Punkt F{x,y,z) einer Fläche sind bestimmt durch die 
Gleichung 
(10) — L = da dx + dh dy + de dz = 0. 
Auch hier erhält man durch Einsetzen der Werte aus 
§ 20, (5) einen homogenen Differentialausdruck zweiten 
Grades in dx, dy, dz, vgl. § 20, (12), der in Verbindung 
mit § 20, (3) die Verhältnisse dx:dy:dz für die beiden 
Asymptotenrichtungen liefert. 
Die vorstehenden Entwicklungen geben zugleich die 
Differentialgleichungen der Krümmungslinien und 
Asymptotenlin'ien einer Fläche F{x,y, z) = 0. Die De 
finition dieser Kurvensysteme ergeben sich aus § 19, nämlich: 
Krümmungslinien heißen die beiden, von den Haupt 
krümmungsrichtungen aller Punkte der Fläche gebildeten 
Kurvensysteme. 
Wir haben also nur die beiden Kurvensysteme zu be 
stimmen, die in allen Punkten der Fläche F {x,y,z) — 0 den 
beiden Bedingungen 
(11) 
M= 
a da dx 
h dh dy 
c de dz 
= 0, adx-\-hdy -\-cdz = 0 
genügen. Daher 
Satz 4. Die Gleichungen (11) stellen in Ver 
bindung mit F= 0 die Differentialgleichungen der 
Krümmungslinien der Fläche dar. 
Aus § 19 entnehmen wir ferner: 
Asymptotenlinien heißen die beiden von den 
Asymptotenrichtungen aller Punkte der Fläche gebildeten 
Kurvensysteme auf der Fläche. 
Man hat also analog wie oben die beiden Kurvensysteme 
zu bestimmen, die in allen Punkten der Fläche F[x, y,z) = 0 
den beiden Bedingungen