92 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x, y, z) = 0. 
(12) —L = dadx-\-dbdy-\-dcdz = 0, adx-\-l)dy J r cdz = 0 
genügen. Daher 
Satz 5. . Die Gleichungen (12) stellen in Ver 
bindung mit F= 0 die Differentialgleichungen der 
Asymptotenlinien der Fläche dar. 
Es bleibt noch übrig, an Stelle der ßichtungskosinus 
a, h, c die partiellen Ableitungen F x , F 2 , F 3 von F(x, y, z) 
einzuführen, um die Formeln unmittelbar zum Gebrauch 
fertig zu haben. Nach § 15, (21) und (22) war 
(13) h=VF 2 , c= VF 3) 
(14) 1: V 2 ^Fl + Fl + Fl 
Die Gleichung Zadx= 0 ergibt also (vgl. § 15, (4)). 
(15) F x dx + F 2 dy F F 3 dz = 0. 
Aus (13) und (14) folgt weiter 
da = VdF x + F x d V, dh = VdF 2 FF,dV } 
j dc=VdF s FF 3 dV, 
wo für dF x , dF 2 , dF 3 die Werte aus § 15, (6a) einzusetzen sind. 
Die Bedingungen für zwei konjugierte Richtungen 
dx 1} dy l , dz t und dx 2 , dy 2 , dz 2 lauten daher nach (4) 
F x dxj + F 2 dy x + F 3 dz x = 0, 
F l dx 2 + F 2 dy 2 + F 3 dz 2 = 0, 
(17) F n dx x dx 2 + F 22 dy x dy 2 + F 33 dz x dz 2 
+ ^23 (#i + de x dy 2 ) + F 31 {dz x dx 2 + dx x dz 2 ) 
+ F 12 (dx x dy 2 + dy x dx 2 ) = 0. 
Man sieht, daß die Gleichungen in den Differentialen 
dx x , dy l , dz x und dx 2 , dy 2 , dz 2 symmetrisch gebaut sind. 
Als Differentialgleichung der Krümmungslinien 
erhält man nach (11) neben (15) die Gleichung 
M=V 2 
F x dF x dx 
F 2 dF 2 dy 
F 3 dF 3 dz 
= 0 
oder nach Division mit V 2 
F x F xx dx + F X2 dy + F x3 dz dx 
F 2 F 21 dx + F 22 dy + F 23 dz dy 
F 3 F 3l dx + F 32 dy + F 33 dz dz 
(18) 
= 0.