94 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
§ 22. Allgemeine Formeln für die Hauptkrümmungs 
radien. Krttmmungsmaß. Kreispunkte. 
Nachdem im vorigen Paragraphen die Gleichungen für 
die konjugierten Richtungen, Hauptkrümmungsrichtungen 
und Asymptotenrichtungen für die allgemeine Flächenform 
F{x,y,z) = 0 auf gestellt worden sind, haben wir nun noch 
für diesen Fall die in § 18 definierten metrischen Größen, 
nämlich die Krümmungsradien ebener Schnitte, insbesondere 
die Hauptkrümmungsradieu, zu bilden. Wir gehen hierbei 
aus von den im I. Abschnitt für den Krümmungsradius r 
einer Raumkurve aufgestellten Formeln, die natürlich auch 
für den speziellen Fall ebener Schnittkurven gelten und be 
ginnen mit der Bestimmung des Krümmungsradius eines 
schiefen Schnittes. Es war in § 4, (4) gefunden 
l dsd 2 x — dx d- s m ds d 2 y — dy d 2 s 
r ds 3 ’ r ds 3 ’ 
n dsd 2 z— dzd 2 s 
r ds 3 * 
wo l, rn, n die Richtungskosinus der Hauptnormale der 
Kurve, in unserem Falle also die der Kurvennormale des 
ebenen Schnittes, sind. Multiplizieren wir diese Gleichungen 
bezüglich mit a, 1), c und addieren, so folgt, da nach § 20, 
(3) 2 a dx = 0 ist, die Gleichung 
+ ad 2 x-\-hd 2 y J r cd 2 z 
r ds 2 
Nach Einl. (6) ist aber + + der Kosinus des 
Neigungswinkels der Normale des schiefen Schnittes gegen 
die Flächennorraale oder gegen die Normale des zugehörigen 
Normalschnittes. Dieser Winkel war in § 18 mit H be 
zeichnet (vgl. Fig. 12); wir haben also unter Berücksichti 
gung von § 20, (12): 
cosH 2ad 2 x 2dadx L 
r ds 2 ds 2 ds 2 
Dies ist die Meusniersche Gleichung (§ 18, Gl. 15) 
für die allgemeine Flächenform. 
Um aus (1) den Krümmungsradius R des zugehörigen 
Normalschnittes herzuleiten, haben wir einfach i/ = 0 zu 
setzen und erhalten so