§ 22. Allgemeine Formeln für die Hauptkrümmungsradien. 95 
(2) 
1 
R 
2 a cP x 
ds 2 
2 da dx 
ds 2 
ds 2 
Dies ist die Eulersche Gleichung (§ 18, Gl. 6) für 
die allgemeine Flächenform. 
Die Fortschreituugsrichtimg auf der Fläche, zu der die 
Radien r und II gehören, ist in (1) und (2) statt durch den 
in § 18 eingeführten Winkel cp durch die Verhältnisse der 
Differentiale dx, dy, dz bestimmt, die noch der Bedingung 
2 a dx = 0 unterworfen sind. 
Aus (2) werden endlich die Hauptkrümmungsradien 
B 1 und II, bestimmt; hierzu sind aus den Gleichungen 
§ 21, (11) ' 
a da dx 
0, adx-\-bdy-\-cdz = 0 
(3) 
M= 
h db dy 
c de dz 
die Verhältnisse dx:dy:dz zu berechnen und in (2) einzu 
setzen; wir haben also den 
Satz 1. Die Hauptkrümmungsradien R 1 und B. 2 
ergeben sich, wenn man aus (3) die den Hauptkrüm 
mungsrichtungen entsprechenden Verhältnisse dx x : 
dy x \ dz x und dx 2 : dy 2 :dz 2 bestimmt und in (2) einträgt. 
Die Berechnung von B x und B., gestaltet sich indessen 
einfacher, wenn man den am Schluß von § 19 abgeleiteten 
Satz benutzt, daß sich die in zwei Nachbarpunkten P und 
P' errichteten Normalen einer Fläche dann und nur dann 
schneiden, wenn PP' eine der Hauptkrümmungsrichtungen 
ist. Der Schnittpunkt M der beiden Normalen ist dann 
natürlich der Krümmungsmittelpunkt des zugehörigen Haupt 
schnitts, die Entfernung MP=MP' der eine Hauptkrümmungs- 
radius. Bezeichnen wir denselben mit B, die Koordinaten 
von M mit £, rj, £, so ist, wenn M auf der positiven Nor 
malenrichtung liegend angenommen wird, 
£ = x -h Ba = x ~j— dx -j- B (a -|- da}, 
v = y + Bb = y + dy + B (b + db), 
£ = z -}- B c = z -J- d z -j- B (c -f- de). 
Daraus folgt 
(4) dx-\-Bda= 0, dy-\-Bdb = 0, dz J r Bdc = 0.