96 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x,y,z) = 0. 
Diese Gleichungen ermöglichen eine einfachere Bestim 
mung der Hauptkrümmungsradien. Zunächst ergeben sich 
jedoch einige wichtige Folgerungen aus (4). Bezeichnen wir 
die Bogenelemente der zu B x und B, gehörigen Haupt 
krümmungsrichtungen mit d s x und ds 2 , ihre sphärischen 
Bilder (vgl. § 20) mit ds 01 und ds 02 , die Projektionen der 
letzteren auf die Achsen mit da x , db x , dc x und da.,, db 2 , 
dc 2 , so hat man nach (4) 
(5 a) B x da x — — dx x , B x db x = — dy x , B x dc x = — dz x , 
5 b) B 2 da 2 = — dx 2 , B 2 db 2 = — dy 2 , B 2 dc 2 = — dz 2 , 
und nach § 21, (6) 
(6) d a x da 2 -\-di x db 2 + dc x dc 2 = 0. 
Die letzten Gleichungen ergeben den |vgl. auch § 21, 
Zusatz 1.] 
Satz 2. Die sphärischen Bilder der Hauptkrüm 
mungsrichtungen sind diesen parallel und, wie diese, 
aufeinander senkrecht. 
Quadriert man ferner die Gleichung (5 a) und addiert 
sie, und verfährt ebenso mit den Gleichungen (5b), so er 
gibt sich [vgl. § 20, (8)] 
Bldsoi = ds\, Bldso2 = ds\, 
und hieraus 
1 ds ox ds 02 
B X B 2 ds x ds 2 
Da nun die Bogenelemente ds i und ds 2 sowohl, als ihre 
sphärischen Bilder d,s ox und ds 02 aufeinander senkrecht stehen, 
so ist ds x ds 2 nach § 15, (18) das Flächenelement dJ, ds ox , ds 02 
sein sphärisches Bild dJ 0 . Wir haben also 
1 dJ 0 
B X B 2 ^ dJ' 
Diese Gleichung enthält den 
Satz 3 (von Gauß). Das Produkt der Haupt- 
jCtjL 
krümmungen in einem Punkt P einer Fläche (das 
sog. „Krümmungsmaß“, vgl. § 18 (8)) ist gleich dem 
Verhältnis des sphärischen Bildes dJ 0 des Flächen 
elementes zu diesem Flächenelement {dJ) selbst.