100 II. Abschnitt» Flächen in der Form F{x,y,z) — 0. 
n 21 — — 1 r i 1 + ( l 2 ) + t i 1 +P 2 ) — 2 P ( lS rt—s 2 
w R 2 JR (1 -\-p' 2 + q 2 fl* (1 -\-p 2 -\-q 2 ) 2 
also ist 
, 1tn 7. r{l + q 2 ) + t{l+p 2 ) — 2pqs 7 rt — s 2 
(idj c j /v2\ 8 Io ’ 
(l+i? 2 + g 2 ) 2 
Die parabolische Kurve der Fläche hat die Gleichung 
(14) 
rt — s 2 = 0. 
2. Aufgabe. Die Kreispunkte (Nabelpunkte) einer 
Fläche zu bestimmen. 
Die Kreispunkte sind nach § 18, S. 76, dadurch charak 
terisiert, daß in ihnen It { = B 2 wird. Da R 1 und R. 2 für eine 
gegebene Fläche bekannte Funktionen von x, y, z sind, 
so stellt die Gleichung B l = IL> eine Fläche vor, deren 
Schnittkurve mit F [x, y,z) — 0 der geometrische Ort der 
Kreispunkte sein muß. Man sollte demnach auf jeder Fläche 
eine Kurve von Kreispunkten erwarten; dem ist aber nicht 
so. Die Gleichung R l — R, = 0 ist nämlich von der Form 
A 2 -\-B 2 = 0, wo A und R Funktionen von x, y, z sind. 
Sie stellt also eine imaginäre Fläche mit reeller Doppel 
kurve dar, imd die Gleichungen der letzteren sind A = 0, 
JB= 0. Diesen beiden Gleichungen müssen also die Koor 
dinaten eines reellen Kreispunktes genügen und außerdem 
natürlich der Flächengleichung F{x,y,z) = 0. Es gibt daher 
auf einer Fläche nur eine endliche Anzahl reeller 
Kreispunkte. Die Gleichung R t — R. 2 = 0 erhält man 
durch Nullsetzen der Diskriminante der Gleichung (8) oder 
(8 a), also 
h 2 — ±l = 0. 
Für die Flächenform z = f(x,y) erhält, wie eine kleine 
Rechnung zeigt, diese Gleichung nach (13) die Form 
(l+jF + ^Kl+^Xl + g 2 ) 
{rt — s 2 ) 2 A 
t l 2 ' 
r 
1 +p 2 
Für reelle Kreispunkte erhält man also die beiden 
Bedingungsgleichungen