§ 22. Kreispunkte einer Fläche. 
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oder 
pq 1 +y> 2 1 + q 2 
Wenn nun die Koordinaten eines Flächenpunktes diesen 
beiden Gleichungen genügen, so verschwinden für einen solchen 
Punkt die Koeffizienten der Differentialgleichung der Krüm 
mungslinien (§ 21, Gl. 18a) einzeln, wie man leicht sieht. 
In einem Kreispunkt genügt also jede Fortschreitungsrichtung 
dieser Differentialgleichung. Dies ist auch geometrisch leicht 
abzuleiten. Denn für einen Kreispunkt ist die Indikatrix 
ein Kreis, das Schmiegungsparaboloid ein Rotationsparaboloid, 
also wird die Normale des Kreispunktes von allen Nachbar 
normalen getroffen, mithin muß jede Fortschreitungsrichtung 
der für die Hauptkrümmungsrichtungen aufgestellten Be 
dingung genügen. Um nun zu übersehen, wie sich die 
Krümmungslinien in einem Kreispunkt verhalten, beachte 
man, daß die Bestimmung von aus § 21, (18 a) in diesem 
ct oc 
Falle auf die unbestimmte Form führt; um den wahren 
Wert zu erhalten, hat man nach der bekannten Regel Zähler 
eine 
Gleichung dritten Grades; es gehen also im allgemeinen durch 
einen Kreispunkt drei Krümmungslinien. Ein näheres Ein 
gehen auf diese speziellen Verhältnisse würde zu weit führen. 
Es sind nun alle Untersuchungen, die zuerst nur für 
eine spezielle Lage des Koordinatensystems und mit Hilfe 
des Schmiegungsparaboloids und der Indikatrix geführt 
wurden, auf die allgemeine Flächenform F (x, y, z) = 0 über 
tragen. Die Einfachheit der gefundenen Formeln beruht 
darauf, daß neben den Koordinaten x, y, z nur die von 
ihnen abhängigen Richtungskosinus a, b, c und deren 
Ableitungen auftreten. Diese Darstellung erweist sich 
auch als besonders geeignet zur Herleitung der Formeln im 
II. Band, Abschnitt I, für die Gaußsche Parameterform der 
Flächengleichung.