102 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
§ 23. Konfokale Flächen zweiter Ordnung. Elliptische 
Koordinaten. 
Die bisherigen allgemeinen Untersuchungen sollen in 
den folgenden Paragraphen auf ein Beispiel, die Mittel 
punktsflächen zweiter Ordnung, angewandt werden. Hierzu 
ist es indes zweckmäßig, einige Bemerkungen über kon 
fokale Flächen und über elliptische Koordinaten 
vorauszuschicken. 
Wir betrachten eine Fläche zweiter Ordnung mit der 
Gleichung 
(i) i = o 
und setzen voraus, daß 
ist, a>i>e 
In (1) geben wir dem Parameter $ alle möglichen 
Werte von —oo bis +oo; wir erhalten so zu jedem Para 
meterwerte 0' eine Mittelpunktsfläche zweiter Ordnung. Man 
nennt die Gesamtheit aller dieser Flächen ein konfokales 
Flächensystem, weil jede der drei Symmetralebenen der 
Flächen (hier die drei Koordinatenebenen) von dem System (1) 
nach einer Schar konfokaler Kegelschnitte*) geschnitten 
wird. Wir untersuchen die Arten der Flächen, die in (1) 
enthalten sind und unterscheiden zu diesem Zwecke vier 
Intervalle, in denen $ liegen kann. 
1. Intervall; $ liegt zwischen + oo und —c 2 . 
Die Nenner von x 2 , y 2 und z 2 in (1) sind in diesem 
ganzen Intervall positiv, die drei Hauptachsen also alle reell. 
Alle Flächen des ersten Intervalls sind daher Ellipsoide. 
Nähert sich # mehr und mehr dem Wert —c 2 , so wird die 
in die X-Achse fallende Hauptachse immer kleiner; die Ellip 
soide werden also immer flacher und gehen für d = — c 2 
in den von der Ellipse 
(2) 
x 2 y 2 
a 2 — c 2 + h 2 — c 2 
z = 0 
eingeschlossenen Teil der XF-Ebene über; derselbe ist als 
*) Vgl. S. B. VIII. Simon, Analyt. Geom. d. Eb. § 48.