106 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
Dividiert man die Gleichungen (6) bezüglich durch 
(a 2 + A) 2 , (b 2 -f- X) 2 , (c 2 +X) 2 und addiert, so erhält man, wenn 
die Brüche rechts auf gemeinsamen Nenner gebracht werden 
x 2 (X — ju) (2 — v) 
¿L {a 2 - 
(8) 
*)* {a 2 +x){b 2 +x){c 2 +xy 
sowie zwei analoge Gleichungen, die sich durch zyklische 
Vertauschung von X, fi, v ergeben. Aus (8) folgt weiter 
x 2 (a 2 + jli) _ (X — ju) (X — v) 
( a 2 -f 
und aus (7) 
X) 2 (.a 2 + fi) (a 2 + X) {b 2 + X) {c 2 + X) ’ 
x 2 (<a 2 + X) 
2ia^ 
0. 
(ci 2 -f- X) 2 (ci 2 -j- fi) 
Durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen er 
gibt sich 
(9) 
2(a 2 
(a 2 + X) (b 2 -f- X) (c 2 + X) 
fi- 
{cc 2 -j- X) 2 (ct 2 -}- fi) 
Ebenso findet man 
(9 a) 2(a 2 + X 2 ) 2 (a 2 + v) “ (a 2 + X) (h 2 + X) (c 2 + X) ’ 
sowie die weiteren durch zyklische Vertauschung von X, fi, v 
aus (9) und (9 a) hervorgehenden Gleichungen. 
Zieht man die Gleichungen (7) voneinander ab, so folgt 
(i°) 2) 
= 0. 
(a 2 + X) (a 2 + fi) (a 2 + v) 
Wir bilden endlich noch das Linienelement ds des 
Raumes für elliptische Koordinaten. Zu diesem Zweck nehmen 
wir in (6) auf beiden Seiten den Logarithmus; durch Diffe 
renzieren folgt dann 
2 dx 
(11) 
dy = 
2 dz = 
xdX | 
xd fi 
! xdv 
a 2 + X 1 
a 2J r ft 
1 a 2 + v’ 
ydX 
yd fi 
ydv 
b 2 + X 1 
b 2 + iu 
1 b 2 + v’ 
zdX 
zdfi 
} zdv 
c 2 + X + 
c 2 + /<■ 
1 C 2 -f- V