§ 24. Krümmungslinien der konfokalen Flächen etc. 109 
und beweisen, daß die Schnittkurve von (1) und (2) Krüm 
mungslinie von (1) ist. Aus § 21, (18) ergibt sich als Diffe 
rentialgleichung der Krümmungslinien von (1) 
(3) 
X 
dx 
dx 
ft 2 +; t 
ft 2 +1 
V 
dy 
dy 
b 2 + X 
b 2 + X 
z 
dz 
dz 
c 2 + X 
c 2 + X 
oder ausgerechnet 
(3 a) x dy dz (b 2 — c 2 ) + y dzdx (c 2 — a 2 ) + z dx dy (<% 2 — b 2 ) = 0. 
Für die Schnittkurve von (1) und (2) gelten nun die 
beiden Differentialgleichungen, welche durch Differenzieren 
von (1) und (2) folgen, nämlich 
(4) 
xdx 
a 2 + X 
+ 
V dy 
b 2 + X 
xdx ydy 
a 2 + [jL b 2 + n 
zdz 
c 2 + X 
= 0, 
zdz 
C 2 + fX 
0. 
Daraus folgt nach Einleitung (15) 
(5) 
X 
y 
z 
a 2 -f X 
& 2 -M 
c 2 + X 
X 
y 
z 
ct~ —)~ ja 
b 2 +;ft 
c 2 + y 
Setzt man aus (5) für dx, dy, dz die proportionalen 
Werte in die Differentialgleichung der Krümmungslinien (3 a) 
ein, so zeigt sich, daß diese befriedigt wird. Man erhält 
nämlich durch eine einfache Rechnung für die linke Seite 
den Ausdruck: 
xyz (a 2 — h 2 ) (b 2 — c 2 ) (c 2 — a 2 ) 
Ja/ 2 + X) {b 2 + X) (c 2 + X) {a 2 + y) (b 2 + y) (c 2 + y) 
2 1 
X 
(ft 2 -j- ¿) (ft 2 JLl) 
der nach § 23, (7) = Null ist. Die Schnittkurve von (1) 
und (2) erfüllt also die Differentialgleichung der Krümmungs