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§ 24. Satz von Dupin. 
weitergeht. Die Tangente dieser Schnittkurve fallt aber 
mit der Normalen der Fläche ¥=0 zusammen, d. h. es ist 
(9) dx:dy:dz=¥ x :¥ 2 :¥ 3 . 
Setzt man nun in (6) x + dx, y + dy, z-\-dz statt x, y, z 
ein, so folgt unter Berücksichtigung von (6) und (9) 
[<h {F 1X ¥ x + F X2 ¥ 2 + F 1B ¥ 3 ) + 0 2 {F n ¥ t + F 22 ¥ 2 + F 23 ¥ 3 ) 
+ ^3 ¥ X +F 32 ¥ 2 +F 3 3 ¥ 3 )] + [F x {0 XX ¥ x + 0 X2 ¥ 2 + <Z> 13 ¥ 3 ) 
+ F 2 {¥ 2X ¥ x + ¥ 22 ¥ 2 + 0 23 ¥ s ) +F 3 {F 3X W x + 0 32 ¥ 2 
+ ^3^a)] = 0. 
Zur Abkürzung bezeichnen wir die erste eckige Klam 
mer in obiger Gleichung mit (0¥); es ist dann offenbar 
{0¥) = {¥¥). Verfährt man nun mit (7) und (8) analog wie 
hier mit (6), so folgen die drei Gleichungen 
(10) (0¥) + (F¥) = 0, (!FF) + {0P) = 0, {FF) + {¥¥) = 0. 
Daneben ist 
(11) {F0) = {0F), {¥¥) = {¥¥), {¥F) = {F¥). 
Zieht man von der halben Summe der Gleichungen (10) 
jede einzelne ab, so folgt unter Berücksichtigung von (11) 
(12) {FF) = {0¥) = {¥F) = 0. 
Aus (6), (7) und {0 ¥) = 0 folgt nun durch Elimination 
von ¥ x , 0 2 , 0 3 
¥ x F x {F 1X ¥ X + F X2 ¥ 2 + F X 3 ¥ 3 ) 
¥* F, {F 2X ¥ X + F 22 ¥ 2 + F 23 ¥ 3 ) =0, 
^3 F 3 {F 3X ¥ X +F 32 ¥ 2 +F 33 ¥ 3 ) 
und hieraus nach (9) 
dx F x dF x 
dy F 2 dF 2 
dz F 3 dF 3 
= 0. 
Dies ist aber nach § 21, (18) die Differentialgleichung 
der Krümmungslinien für die Fläche F= 0. Es fällt also 
in dem Punkt P die Richtung der Schnittkurve der Flächen 
F =0 und 0=0 in eine Hauptkrümmungsrichtung der Fläche 
F= 0. Ebenso läßt sich der Beweis für die beiden andern 
Flächen führen, womit der Satz von Dupin bewiesen ist.