§25. Geodätische Linien. Anwendung auf Rotationsflächen. 113 
Kommerell, Theorie der Eaumkurven. I. 
dieser Kurven hervorgehoben, nämlich daß ihre Schmiegungs 
ebene stets auf der Tangentialebene der Fläche senkrecht 
steht, also die Flächennormale enthält. Dieser Satz, der 
dort nur für den speziellen Fall der abwickelbaren Flächen 
bewiesen wurde, soll jetzt allgemein bewiesen werden. 
Es seien (s. Fig. 15) APB drei aufeinanderfolgende Punkte 
einer geodätischen Linie, und zwar sei AP=JBP. Aus der 
Definition der geodätischen Linie folgt nun unmittelbar, daß 
von allen gleichschenkligen Dreiecken, deren Basis AB ist 
und deren Spitze auf der Fläche liegt, das Dreieck APB 
die kleinsten Schenkel und darum auch 
die kleinste Höhe haben muß. Diese 
Dreiecke haben aber ihre Spitze alle 
auf einer Kurve CPE der Fläche, die 
sich als Schnitt der Mittellotebene zu 
AB und der Fläche ergibt. Diese Mittel 
lotebene schneide AB in D, so daß also 
PB die Höhe des Dreiecks APB ist. 
Nach dem oben gesagten muß nun P 
derjenige Punkt der Kurve CPE sein, 
der von D die kleinste Entfernung hat; 
d. h. PB steht auf der Tangente dieser 
Kurve senkrecht. PB geht nun aber 
auch durch den Mittelpunkt des dem 
Dreieck APB umbeschriebenen Kreises. 
In der Grenze ist daher PB Haupt 
normale für die geodätische Linie APB 
im Punkt P (vgl. § 3 und 4) und steht 
daher auch auf der Tangente dieser Kurve 
in P senkrecht. Die Hauptnormale PB der geodätischen 
Linie steht also senkrecht auf zwei Flächen tan genten durch 
P, und ist daher die Flächennormale für P. Die Schmie 
gungsebene APB der geodätischen Linie enthält also die 
Flächennormale PB. Wir haben also den 
Satz 1. In jedem Punkt P einer geodätischen 
Linie geht die Schmiegungsebene in P durch die 
Flächennormale in P, 
Oder 
Die Hauptnormale einer geodätischen Linie 
fällt in jedem Punkt mit der Flächennormalen zu 
sammen.