116 II. Abschnitt. Flächen in der Form F {x, y, z) — 0. 
geführten Determinante N ab. Multipliziert man nämlich 
M und N, so folgt 
a da dx 
a dx 
d 2 x 
Na 2 Xada Nadx 
MN= 
h dh dy 
• 
1) dy 
d-y 
= 
Sadx Sdadx Ndx 2 
c de dz 
c dz 
d 2 z 
ZacPx Xdad 2 x Zdxd 2 x 
Nun ist nach § 20 
Xa 2 = 1, Xada = 0, Xadx = 0, Xdadx =—L, Xad 2 x = L, 
und nach § 15, (8) Xdxd 2 x — dsd 2 s. Wir erhalten also 
(4) MN = — ds{Ld 2 s-\- ds N da d 2 x). 
Beispiel. Die geodätischen Linien der Rotations 
flächen, 
Die Gleichung der Rotationsfläche sei 
f(ix 2 -j-y 2 ) =0 
z— 
und die Ableitung von f sei mit f' bezeichnet. Dann sind 
nach (3 a) die Differentialgleichungen der geodätischen Linien 
d 2 x d 2 y d 2 0 —xf' —yf' 
Daraus folgt 
Dies ist offenbar die Differentialgleichung der Projektionen 
der geodätischen Linien auf die X Y-Ebene. Sie läßt sich 
auch in der Form schreiben 
(5) 
— (xdy — ydx) = 0. 
so folgt aus (5) durch eine einfache Rechnun; 
(6) 
Führt man Polarkoordinaten ein, setzt also 
x — r cos cp, y = r sin cp, 
)lgt aus (5) durch eine einfache Rechnung 
oder integriert 
(V