§ 26. Die geodätischen Linien der Mittelpunktsflächen etc. 119 
geodätische Linie in unendlich vielen Windungen (cp = oc, 
s — oo) dem Parallelkreis r — r 0 asymptotisch. 
Man erkennt dieses Verhalten am besten an den Bei 
spielen des Rotationskegels und des Rotationshyperboloids, 
dessen Kehlkreisradius r 0 ist. 
§ 26. Die geodätischen Linien der Mittelpunktsiiäclien 
zweiter Ordnung. 
Im vorigen Paragraphen wurde die kürzeste Linie, welche 
zwei Punkte auf einer Fläche verbindet, als eine geodätische 
Linie bezeichnet. Für die Ebene sind die geodätischen 
Linien lauter Geraden; es entsprechen also die geodätischen 
Linien einer Fläche in gewissem Sinne den Geraden der 
Ebene. Besonders anschaulich tritt dies bei den Mittel 
punktsflächen zweiter Ordnung zu Tage; es besteht nämlich 
eine vollständige Analogie zwischen den Brennstrahlen, 
die einen Punkt eines Kegelschnitts mit den Brenn 
punkten verbinden, und den geodätischen Linien auf 
einer Mittelpunktsfläche zweiter Ordnung, welche einen 
Punkt einer Krümmungslinie mit zwei Kreispunkten 
der Fläche verbinden, derart, daß die fundamentalen Sätze, 
die für den ersten Fall gelten, sich direkt auf den zweiten 
übertragen lassen. 
Ehe wir auf die geodätischen Linien durch die Kreis 
punkte näher eingehen, betrachten wir zunächst allgemein 
die geodätischen Linien der Mittelpunktsflächen zweiter 
Ordnung. 
Um die Differentialgleichung derselben aufzustellen, be 
nutzen wir- § 25, Gl. (4) und setzen die rechte Seite =0; 
wir erhalten so 
(1) Ld 2 s -{- ds^dacl 2 x = 0. 
Nach § 25, (4) ist dies zugleich die Differentialgleichung 
der Krümmungslinien; die folgenden Entwicklungen gelten 
daher zunächst für beide Arten von Linien. Wir führen 
nun in (1) statt a, h, c die partiellen Ableitungen von F (x, y, z) 
nach x, y, z ein. 
Aus § 21, (13)—(16) folgt 
L = —¿L da dx — — dF x dx. 
(2)