120 II* Abschnitt. Flächen in der Form F {x, y, z) ~ 0. 
Ferner 
(3) dad 2 x = v2i dF x cPx+cW^£F x d 2 x. 
Differenziert man § 21, (15), so folgt 
(4) . HF x d 2 x+HdF x dx = 0. 
Also ist 
(5) ¿Ldad 2 x = V^dF x d 2 x— dV^LdF x dx. 
Die Differentialgleichung (1) der geodätischen Linien 
läßt sich nun nach (2) und (5) in die Form bringen 
— d 2 s rZdF x dx + ds (vHdF x cP x — d v2LdF x dx) = 0 
oder nach Division mit Vds222dF x dx 
2 T 
(6) 
id Fy cP x 2 d V 
2 d 2 s 
ds 
0. 
2i,dF x dx l 
Diese Gleichung gilt für jede Fläche F{x,y, z) = D. Für 
eine Mittelpunktsfläche zweiter Ordnung gestattet sie sofort 
eine erste Integration; es ist nämlich für diesen Fall auch im 
ersten Glied der Zähler das Differential des Nenners, wie sich 
leicht zeigen läßt. Die Gleichung einer solchen Fläche sei 
y- 
(V 
F(x,y,s) = 
X i 
a? + V- 
V-il-o 
(wo die Halbachsen a, h, c auch imaginär sein können). 
Es ist dann 
(8) 
, X 
x= a 2 '- 
, f 2 = 
V w s 
’ ^3— C 2 > 
1 
X 2 
y 2 Z 2 
V*‘ 
a 4 ^ 
¥ ^ c 4 ' 
dx 
= ~a 2 ’ 
II 
r ^ 
dy dz 
-■2- 
dxd 2 x 
a 2 
-d =d2EdF x dx 
a 2 
dF x 
Nun folgt aus (6) durch Integration 
lg2LdF x dx — IgV 2 — lgd*s l = lg C,