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§ 26. Die geodätischen Linien der Mittelpunktsfiächen etc. 123 
erhält man die Gleichung der geodätischen Linien auf 
dem Ellipsoid. 
Anmerkung. Eigentlich sollte man, da ja (9) für geo 
dätische wie für Krümmungslinien gilt, in (15) als Integral auch 
die Krümmungslinien erwarten; d. h. (15) sollte für ft — konst. und 
v — konst. befriedigt sein. Dies ist aber auch der Fall, und zwar 
sind die Krümmungslinien singuläre Integrale. In der Tat ist 
(15) für fi = — c,, d fi = 0 und ebenso für v = — c,, dv = 0 erfüllt. 
Weiter unten (Satz 2) wird sich ergeben, daß alle geodätischen 
Linien mit derselben Konstanten c, dieselbe Krümmungslinie be 
rühren: die Krümmungslinien erscheinen so als Enveloppen der 
geodätischen Linien. 
Um das durch (12) und (15) bestimmte Linienelement 
der geodätischen Linien in eine geeignete Form zu bringen, 
bezeichnen wir die linke (und damit auch die rechte) Seite 
von (15) mit p. Drückt man dann 
fidfi 2 
und 
’dv 1 
durch p 
M N 
aus und setzt die gefundenen Werte in (12) ein, so folgt 
2 ds = p {¡x — v), 
wofür man auch schreiben kann 
2 ds = p (¡x -j- c^) — p (v -j- CjJ. 
Setzt man nun für p das eine Mal die linke, das andre 
Mal die rechte Seite von (15) ein, so erhält man für das 
Linienelement der geodätischen Linien 
(16) 
2 ds = d/n 
hi (ji — C x 
M 
dv 
Mv + cJ 
N 
Dabei entsprechen sich die Zeichen in (15) und (16). 
Damit (16) einen reellen Wert für ds gibt, muß die willkür 
liche Konstante c x zwischen bestimmten Grenzen liegen. Da u 
und v nach § 23, S. 105 stets negative Größen sind, und da 
/u zwischen — c 2 und — b 2 , v zwischen — b 2 und — a 2 liegt, 
so ist nach (11) M stets negativ, N stets positiv. Aus (16) 
folgt daher, daß c x eine positive Größe und zwischen den 
absoluten Werten von ju und v liegen muß, d. h. es muß 
a 2 > c x > c 2 
c x muß im Intervall von fi oder dem von v 
(17) 
sein oder 
liegen. 
Die Konstante c x hat eine einfache geometrische Be 
deutung, die sich ergibt, wenn wir die Bedingung dafür