124 II- Abschnitt. Flächen in der Form F(x, y, z) = 0. 
suchen, daß eine geodätische Linie die Krümmungslinie 
fi = konst. berührt. In dem Berührungspunkte muß offen 
bar die Differentialgleichung (15) sich auf d/i = 0 reduzieren, 
d. h. es muß fi -j- q = 0 sein. 
Analoges gilt für die Berührung einer Krümmungs 
linie v = konst. Also 
Satz 2. Alle geodätischen Linien (15) mit dem 
selben q berühren ein und dieselbe Krümmungs 
linie mit der Gleichung /i-}-q = 0 (bezw. r + q = 0, 
wenn —q im Intervall von v liegt). 
Da nun jede Krümmungslinie aus zwei getrennten ge 
schlossenen Kurven besteht, wie sich aus §§ 23 und 24 er 
gibt, so ist jede geodätische Linie auf die von den beiden 
Zweigen der Krümmungslinie umschlossene Ellipsoidzone 
beschränkt. Auf dieser Zone winden sich die geodätischen 
Linien unendlich oft herum, ohne sich im allgemeinen zu 
schließen. Dabei berühren sie stets beim Rückgang den be 
treffenden Ast der Krümmungslinie. 
Yon besonderem Interesse sind die geodätischen 
Linien durch die Kreispunkte des Ellipsoids. Die 
Koordinaten derselben sind (vgl, § 28, Aufgabe 26) 
oder nach § 23, (6) für l = 0 
fl = v = — b 2 . 
Nach dem, was oben über die Konstante q gesagt 
wurde, haben wir also in (15) und (16) q=& 2 zu setzen 
und erhalten als Differentialgleichung der geodätischen Linien 
durch die Kreispunkte 
v 
b 2 + f (<* 2 + /•<) (c 2 + f->) {b 2 + v) J [cl 2 -f- v) (c 2 -j- v) 
Für das Bogenelement dieser Linien folgt aus (16) 
fi 
(20) 2 ds = dfi 
(a 2 + fi)- (c 2 -f- fi) 
Aus den beiden letzten Gleichungen lassen sich einige 
wichtige Folgerungen ziehen. Zunächst folgt aus (19), daß