126 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x,y, z) — 0. 
durch M parallel, da ja diese Ellipse mit der Indikatrix in 
M ähnlich ist und ähnlich liegt. Die beiden gleich langen 
Radien, die parallel zu den Tangenten der geodätischen 
Linien in M gezogen sind, bilden aber mit den Hauptachsen 
jener Ellipse gleiche Winkel, womit der Beweis erledigt ist. 
Verbindet man nun M auch mit den beiden anderen 
Kreispunkten K[ und K2 (s. Fig. 17), so folgt aus dem eben 
bewiesenen Satz, daß Jl1K{ die geodätische Verlängerung 
von MK t und ebenso MK% die von MK 2 ist. Also 
Satz 4. Zieht man alle möglichen geodätischen 
Linien durch einen Kreispunkt, so münden diese 
alle in den diametral gegenüberliegenden. 
Zwei solche Kreispunkte spielen daher eine ähnliche 
Rolle, wie die Gegenpunkte einer Kugel: es sind zwischen 
zwei diametral gegenüberliegenden Kreispunkten unendlich 
viele geodätische Linien möglich. Jede derselben verbindet 
aber die beiden Punkte nach der bekannten Eigenschaft 
der geodätischen Linie auf dem kürzesten Wege. Dies ist 
aber nur möglich, wenn die Bogenlängen dieser geodätischen 
Linien alle gleich sind. Also 
Satz 5. Alle geodätischen Linien von einem 
Kreispunkt zum diametral gegenüberliegenden sind 
gleich lang. 
Wir bestimmen endlich die Bogenlängen MK y und MIC 
der beiden geodätischen Linien von M nach K t und K 2 , 
indem wir die beiden aus (20) sich ergebenden Werte von 
äs integrieren. Die unteren Grenzen sind: /x = /x, v = v, 
die oberen /x = — h 2 , v = — h 2 . Wir erhalten so 
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MKi = jd/u 
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MX., — Id fx 
ju 
{a 2 + fi) (c 2 + fi) 
fl 
4 di 
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(¿6 2 + v) (c 2 -f- v) ’ 
{a 2 + fi) (c 2 + fi) 1 2 j dv ] ( a * + v) (c 2 + v) 
Durch Addition folgt 
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