§ 26. Die geodätischen Linien der Mittelpunktsflächen etc. 127
Diese Gleichung zeigt, daß die Summe der beiden Ent
fernungen nur von [x abhängt, d. h. längs der Krümmungs
linie ju = konst, sich nicht ändert. Bezeichnet also M' einen
zweiten Punkt dieser Krümmungslinie, so ist
MK ± + MK 2 = M'K X + M'K 2 .
Nach Satz 5 ist aber auch
MK X + MKi = M'K t + M'Ki.
Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen folgt
MK 2 — MKi = M'K 2 — M'K[,
d. h. für alle Punkte der obigen Krümmungslinie ist die
Differenz der Entfernungen von den beiden Kreispunkten
K 2 und Ki konstant. Analog läßt sich der Beweis für eine
Krümmungslinie v = konst, führen. Wir haben also
Satz 6. Für alle Punkte derselben Krümmungs
linie ist die Summe bezw. Differenz der geo
dätischen Entfernungen von zwei Kreispunkten kon
stant, je nachdem die beiden Kreispunkte von
der Krümmungslinie eingeschlossen oder getrennt
werden.
Die Sätze 3 und 6 zeigen die vollständige Analogie
der Krümmungslinien des dreiachsigen Ellipsoids mit den
konfokalen Kegelschnitten der Ebene, wobei den Brenn
punkten die Kreispunkte, den Verbindungslinien der Brenn
punkte mit einem Kurvenpunkte die geodätischen Linien
durch die Kreispunkte entsprechen, welche nach demselben
Punkte des Ellipsoids gehen. Man bezeichnet daher auch
die Krümmungslinien des Ellipsoids als geodätische Ellipsen
und Hyperbeln. Diese Analogie läßt sich noch weiter
führen; z. B. schneiden sich die Krümmungslinien des Ellip
soids nach §§23 und 24 überall rechtwinklig, wie die kon
fokalen Kegelschnitte. Insbesondere lassen sich nach Satz 6
die Krümmungslinien des Ellipsoids mit Hilfe eines in den
Kreispunkten befestigten, über die Fläche gespannten Fadens
in ganz derselben Weise mechanisch konstruieren, wie die
Ellipse in der Ebene.