128 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x,y,z) = 0. 
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§ 27. Die allgemeine Flächenkurve. 
In den früheren Paragraphen wurden die besonderen 
Flächenkurven, wie Krümmungslinien, Asymptotenlinien, 
geodätische Linien betrachtet. Wir kommen nun zur Unter 
suchung der allgemeinen Flächenkurve. Eine solche ist 
analytisch bestimmt, wenn neben der Flächengleichung 
F(x, y,z) = 0 noch eine zweite <P (x, y,z) = 0 gegeben ist, 
die aus der ersten die Flächenkurve ausschneidet. Es ist 
dann auch (vgl. § 2, Gl. (18)) die Fortschreitungsrichtung 
dx \dy\dz in jedem Punkte der Kurve bekannt, und es 
lassen sich, wie in Abschnitt I gezeigt wurde, die wichtig 
sten Elemente der allgemeinen Flächenkurve aufstellen, näm 
lich der Krümmungsradius r, der Torsionsradius q 
und der Winkel H, den die Hauptnormale der Flächen 
kurve mit der Flächennormalen bildet. 
Für die Untersuchung der besonderen Flächenkurven 
waren nun vier Differentialformen von Wichtigkeit (vgl. § 21 
und 25), nämlich 
(1) ds 2 = dx 2 + dy 2 -f- dz 2 , 
(2) L — a d 2 x -f b d 2 y + c d 2 z — — da dx -f- db dy + de dz, 
a 
da 
dx 
(3) 
M= 
b 
db 
dy , 
c 
de 
dz 
a 
dx 
d 2 x 
(4) 
N = 
b 
dy 
d 2 y 
c 
dz 
d 2 z 
wo die Gleichungen ds 2 = 0, L = 0, M= 0, N= 0 die Diffe 
rentialgleichungen der Minimallinien (vgl. § 13), Asymp 
totenlinien, Krümmungslinien, geodätischen Linien sind. Es 
wird sich nun zeigen, daß die oben genannten Elemente 
auch für die allgemeinen Flächenkurven sich in sehr ein 
facher Weise durch diese vier Ausdrücke darstellen lassen. 
Zu diesem Zwecke sind einige Relationen erforderlich, die 
zum Teil schon früher abgeleitet wurden. Es ist nach § 20, (14) 
(5) M 2 = ds 2 dsl — L 2 , 
wo dsl = da 2 ff- dV -(- de 2 das Linienelement der sphärischen 
Abbildung war.