§ 27. Die allgemeine Flächenkurve. 133 
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Bezeichnen wir noch den Kontingenzwinkel QP'P'L der 
geodätischen Linie mit dt (J (derselbe ist natürlich nicht zu 
verwechseln mit dem geodätischen Kontingenzwinkel dw), 
die Strecke PP' mit ds, so ist bis auf unendlich kleine 
Größen höherer Ordnung 
P'Q = ds, P'P'{ = ds, 
K } P"P" = ds dw, P"Q = dsdt, P'{Q = dsdt g , 
und nach (18) und (19) 
(22) dw = ^ } dt = d ^‘ 
Bedeutet P, wie früher (vgl. § 18), den Krümmungs 
radius des zu PP' gehörigen Normalschnitts, oder, was das 
selbe ist, den Krümmungsradius der geodätischen Linie, so 
ist (vgl. § 18, Gl. (15)) 
(23) 
dt g 1 cos PL 
ds P r 
Da endlich die Ebene PP'P" die Schmiegungsebene 
der Flächenkurve, PP'P'i die der berührenden geodätischen 
Linie, oder nach § 25, S. 113, eine Normalebene der Fläche 
ist, und da Z P"QP" nach obiger Konstruktion den Winkel 
dieser beiden Ebenen darstellt, so ist 
(24) Z P" QP" = PL. 
In dem Dreieck P"P"Q ist nun 
P"Pf - P" Q 2 + P'i Q 2 — 2P"Q- P'i Q cos H. 
Nach (21) bis (23) ist nun 
(25) P"P'i 
P'LQ 
ds 2 
IR 
ds 2 cosPL 
r 
Setzt man diese Werte in (24) ein, so folgt 
ds A /1 cos 2 PL 2 cos 2 R\ ds i • sin 2 PL 
== • (Z ' Z Z / — Z 
also nach (13) 
(26) 
1 sin II N 
r r ds 3