134 II. Abschnitt. Flächen in der Form F(x,y, z) = 0. 
Aus (26) in Verbindung mit (18) und (19) folgt 
(27) 
dw = dt sin H. 
Da — — H der Winkel ist, den die Schmiegungsebene 
U 
der Flächenkurve mit der Tangentialebene der Fläche bildet, 
so ist der geodätische Kontingenzwinkel nach (27) die 
Projektion des gewöhnlichen Kontingenzwinkels auf die 
Tangentialebene. Daraus folgt, daß die geodätische 
Krümmung auch definiert werden kann als die Krümmung 
der auf die Tangentialebene des betr. Punktes pro 
jizierten Flächenkurve, oder kurz als die Projektion 
der gewöhnlichen Krümmung auf die Tangential 
ebene. Die geodätische Krümmung heißt deshalb auch 
tangentiale Krümmung; im Gegensatz dazu be 
zeichnet man die Größe ^ ^— als normale Krümmung; 
heißt dann wohl auch die absolute Krümmung. 
y ® 
Da N= 0 die Differentialgleichung der geodätischen 
Linie ist, folgt: Eine geodätische Linie hat überall 
die geodätische Krümmung Null. 
Bemerkung. Die geodätische Krümmung ist besonders 
deshalb von Wichtigkeit, weil sie sich bei einer Biegung der 
Fläche ohne Faltung und Dehnung, die in Band II, § 11 aus 
führlich behandelt wird, nicht ändert (Minding). Denn da 
bei einer solchen Verbiegung offenbar alle Winkel und Strecken 
auf der Fläche ungeändert bleiben, so bleibt zunächst einmal eine 
geodätische Linie (als kürzeste Verbindung zweier Punkte) bei 
jeder Verbindung eine geodätische Linie, dw und ds bleiben aber 
auch erhalten, und wir haben so den Satz 
Die geodätische Krümmung einer Flächen kurve 
bleibt bei einer Verbiegung der Fläche ungeändert. • 
Da die geodätischen Linien einer abwickelbaren Fläche 
bei Abwicklung der Fläche in eine Ebene in Geraden übergehen, 
und die geodätische Krümmung einer Kurve auf der abwickelbaren 
Fläche sich nicht ändert, so folgt, daß die geodätische Krümmung 
dieser Kurve mit der Krümmung der ebenen Kurve zusammen 
fällt, in welche sie bei der Abwicklung übergeht. 
Unter der geodätischen Torsion einer Flächen- 
Q 
kurve in einem Punkt P versteht man die Torsion der geo 
dätischen Linie, welche mit jener Kurve das Bogenelement 
in P gemein hat oder die Kurve in P berührt. Die geo