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Einleitung. 
(6) 
oder 
(7) 
cos v = a x a 2 + ß 1 ß 2 + y x y 2 , 
4 siß2 \ = ^ — &) 2 + (yi ~ ^) 2 - 
Stehen die beiden Geraden aufeinander senkrecht, so ist 
(8) «i «2+Ä^2+7l /2 = 0. 
6. Der Winkel dv zweier Geraden, die in ihrer Rich 
tung unendlich wenig verschieden sind, und die Richtungs 
kosinus a, ß, y, bezw. a-\-da, ß-\-dß, y-\-dy haben, ist 
bestimmt durch 
(9) dv 2 — da 2 + dß 2 -j- dy 2 . 
7. Zwischen den neun Richtungskosinus a, ß, y; l, m, n; 
X, fi, v dreier aufeinander senkrechter Richtungen bestehen 
sechs Relationen, die in zwei verschiedenen Formen ge 
schrieben werden können, nämlich: 
a 2 + ß 2 + y 2 — 1 ? lX-j-m/xß-nv = 0, 
(10) l 2 -\-m 2 -\- n 2 = 1, Xa -f- ¡uß -f- vy = 0, 
X 2 -j- ju 2 + v 2 = 1, al-\-ßm J r yn = 0, 
oder 
a 2 + ? 2 + X 2 = 1, aß -f- Im Xju = 0, 
(11) ß 2 -f- m 2 -\-[x 2 — 1, jöy + + = 0, 
y 2 -(- n 2 -f- v 2 = 1, 7a -f- nl + — 0. 
8. Sind die drei in 7. genannten Richtungen so orien 
tiert, wie die positiven Koordinatenachsen, so ist 
(12) 
und weiter 
a ß y 
l m n 
X [x v 
= + 1, 
(13) 
a = niv — n/x, 
ß = nX — Iv , 
y = l/u — mX, 
l = fiy — vß, 
m = va — Xy, 
n = Xß —¡ua, 
X = ßn —ym, 
jli = yl — an, 
v = am — ßl. 
Sind also zwei dieser Richtungen gegeben, so bestimmt 
sich die dritte eindeutig aus (13).