§ 1. Gleichungen der Raumkurve. 
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Man kann von (1) wie von (2) noch andere Gleichungen 
der Raumkurve ableiten: eliminiert man nämlich aus je zwei 
der Gleichungen (1) den Parameter u, so erhält man drei 
Gleichungen von der Form: 
(3) F{y,z) = 0, <P{z,x) = 0, ¥{x,y) = 0. 
Eben solche Gleichungen erhält man aus (2), wenn 
man der Reihe nach x, y, z eliminiert. Jede dieser Glei 
chungen stellt wieder eine Fläche dar, und zwar eine Cy- 
1 inderfläche, da jede nur zwei der Variabein x, y, z ent 
hält. Die drei durch (3) dargestellten Cylinder gehen alle 
durch die Raumkurve (1) oder (2) und projizieren dieselbe 
auf die drei Koordinatenebenen. 
Bemerkung. Die Gleichungen (1) und (2) sind nicht 
immer vollständig äquivalent, insofern (2) unter Umständen 
noch Kurvenzweige enthält, die in (1) nicht auftreten. 
Es stellen z. B. die Gleichungen 
x = u, y = u 2 , Z = U S 
eine Raumkurve dritter Ordnung dar; aus diesen Gleichungen 
lassen sich folgende zwei leicht herleiten: 
y = x 2 , xz = y 2 . 
Diese beiden enthalten aber nicht bloß die Raumkurve 
dritter Ordnung, sondern auch noch die #-Achse. Wir sehen 
also an diesem Beispiel, daß nicht jede Raumkurve als 
vollständiger Schnitt von zwei Flächen darstellbar 
ist. Von den Gleichungen (2) kann man auf die Form (1) 
übergehen, wenn man eine der Variabein, etwa x, gleich 
einer beliebigen Funktion von u setzt (am einfachsten u 
selber); aus (2) ergeben sich dann y und z durch Auflösen 
als Funktionen von u. Es folgt daraus, daß eine und die 
selbe Raumkurve sich auf unendlich viele Arten sowohl in 
der Form (1) als in der Form (2) analytisch darstellen läßt. 
Wir geben als Beispiel die Herleitung der Glei 
chungen der Schraubenlinie auf dem Kreiscylinder. 
Die Gleichung des letzteren sei 
(4) x 2 + y 2 = a 2 , 
oder in Polarkoordinaten 
x = aeosu, y = asmu.