§ 2. Bogenelement, Tangente und Normalebene etc. 
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, y = a sm 
'z tg d 
a 
Diese Projektionen sind der Reihe nach ein Kreis, eine 
Kosiuuslinie und eine Sinuslinie. 
§ 2. Bogenelement, Tangente und Normalebene einer 
ßaumkurve. 
Die Raumkurve sei wieder gegeben durch die Gleichungen 
x = f(u), y = cp[u), s = yj{u). 
(1) 
Man erhält ihre Eigenschaften in der Umgebung eines 
ihrer Punkte P durch Untersuchung der einfachsten geo 
metrischen Gebilde, die durch P und die auf P folgenden 
unendlich benachbarten Punkte P', P", . . . bestimmt werden. 
Beschränkt man sich zunächst auf die Punkte P und P', so er 
hält man das Bogenelement, die Tangente und dieNor- 
raalebene im Punkt P. Zu ihrer analytischen Darstellung 
braucht man nur die ersten Differentiale von x, y, 3; diese sind 
(2) dx = f(u) du, dy = (p'{u)du, dz = xp' iu)du. 
Erklärung. Unter dem Bogenelement oder Linien 
element der Kurve im Punkt P versteht man die unend 
lich kurze Verbindungsstrecke der zwei Nachbarpunkte P 
und P'; sie wird bezeichnet mit ds — PP'. 
Sind u und u + du die Parameter, x, y, 3 und x-\~dx, 
y-\-dy, 3-\-d3 die Koordinaten von P und P', so sind dx, 
dy, dz die Projektionen von ds auf die Achsen, und ds be 
rechnet sich als Diagonale eines rechtwinkligen Parallel- 
epipedons (s. Fig. 2), dessen Kanten dx, dy, dz sind. Daher 
hat man für das Bogenelement ds im Punkte P 
(3) ds 2 = dx 2 dy' 2 dz 2 , 
oder nach (2) 
ds = du y/ v (w)’ 2 + cp'{uy 
(4) 
Wegen der Quadratwurzel hat ds zunächst noch ein 
doppeltes Vorzeichen. Wir bestimmen dasselbe durch die 
Festsetzung, daß der Bogen s mit dem Parameter u 
wachsen, also ds:du positiv sein soll. Der Quadrat 
wurzel ist alsdann stets das positive Vorzeichen zu geben.