§ 3. Schmiegungsebene, Krümmungskreis, etc. 
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(4) A dx + B dy + Cdz = 0, 
A (2 dx + d 2 x) + B (2 dy + d 2 y) -f C (2 dz + d 2 z) = 0. 
Letztere Gleichung reduziert sich vermöge (4) auf 
(5) A d 2 x + B d 2 y + C d 2 z = 0. 
Durch Elimination von A, B, C aus (3), (4) und (5) 
erhält man als Gleichung der Schmiegungsebene im 
Punkte P {x, y, z) 
(6) 
X — x Y—y Z — 
dx dy dz 
d- x d 2 y d 2 z 
= 0. 
Eder können wieder die Differentiale nach § (2), Gl. (2) 
und GL (1) durch die Ableitungen der Funktionen f, cp und y> 
nach u ersetzt werden. 
Der Krümmungsradius einer Kaumkurve im Punkt F 
wird ganz ebenso bestimmt wie bei einer ebenen Kurve. 
Der unendlich kleine Winkel zweier aufeinanderfolgenden 
Tangenten in P und P' heißt der Kontingenzwinkel. Be 
zeichnen wir diesen mit dt, den Krümmungsradius mit r, 
so ist, wie aus der Lehre von den ebenen Kurven bekannt ist 
(7) 
1 dt 
r ds' 
Da dt der Winkel zwischen den beiden Richtungen 
a, ß, y und a-\-da, ß-\-dß, y + dy ist, so hat man nach 
Einl. (9) für den Kontingenzwinkel dt 
(8) dt 2 = da 2 -{-dß 2 + dy 2 , 
und somit für den Krümmungsradius r im Punkte P 
1 da 2 -\-dß 2 -\-dy 2 
( j ds 2 ‘ 
Durch Differenzieren der Gleichungen (5j in § (2) kann 
unter Berücksichtigung von (2) Gl. (9) in die Form ge 
bracht werden 
1 (d 2 x) 2 -f (d 2 y) 2 J r{d 2 z) 2 — {d 2 s) 2 
r 2 ds 4 
(10)