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I. Abschnitt. Die Kaumkurven. 
Für den Krümmungsradius nehmen wir stets den posi 
tiven Wert, der sich aus (9) oder (10) ergibt. 
Ist der Parameter der Kurvenbogen s, und setzen wir 
so erhalten wir, da d 2 s = 0, für den Krümmungsradius die 
Gleichung 
1 
(11) 
r 
Der Mittelpunkt M des Krümmungskreises heißt der 
1 
Krümmungsmittelpunkt {M in Fig. 4); die Größe 
die 
r 
Krümmung der Raumkurve im Punkt P, oder auch spe 
zieller die erste Krümmung im Gegensatz zu der später 
zu behandelnden zweiten Krümmung oder Torsion.*) 
Bemerkung. Die Gleichung (7), die der Theorie der ebenen 
Kurven entlehnt wurde, möge noch kurz hergeleitet werden. Da 
r der Radius des dem Dreieck P P' P" umbeschriebenen Kreises 
ist, so ist 
o PP" 
2 r — -.—j- 
sin d t 
oder 
(2dx + d 2 x) 2 -f- (2dy d 2 y) 2 -j- {2dz d 2 z) 2 
sin 2 di 
Berücksichtigt man im Zähler und Nenner nur die Glieder 
niedrigster Ordnung, so folgt: 
dx 2 -{- dy 2 4- dz 2 
dt 2 
oder 
1 dt 
r ds 
Die Formeln (7) und (8) gestatten eine geometrische 
Interpretation. Beschreibt man nämlich um den Ursprung 0 
des Koordinatensystems eine Kugel mit dem Radius 1, die 
sogenannte „Einheitskugel“ und zieht zu der positiven 
*) Der Krümmungsmittelpunkt liegt natürlich in der Schmie 
gungsebene, wegen § 2 Schluß aber auch in der Normalebene von 
P: derselbe liegt daher auf der Schnittgeraden der Schmiegungs 
ebene und Normalebene von P (Hauptnormale, s. § 4).