§ 4. Das die Raumkurve begleitende Dreikant. 
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Tangente eines Kurvenpunktes P eine Parallele durch 0 bis 
zum Schnitt mit der Kugel in 1\, so entspricht jedem 
Punkt der Kurve ein Punkt der Kugel, und der ganzen 
Raumkurve K eine Kurve K x auf der Kugel. Man nennt 
den Punkt P x das sphärische Bild des Punktes P und 
die Kurve das sphärische Bild der Kurve K*) Sind 
x, y, z die Koordinaten von P, so sind offenbar a, ß, y die 
seines Bildes P 1 , und für beide Punkte hat der Parameter u 
denselben Wert. Dem Parameter u-\-du entspricht auf der 
Kurve ein Punkt P' mit den Koordinaten x ff- dx, y-\-dy, 
z -ff dz, auf der Kugel ein Punkt Pf mit den Koordinaten 
«ff-da, ß + dß, y-\-dy. Dem Bogenelemcnt PF' auf der 
Kurve entspricht das Bogenelement P x Pf auf der Kugel, 
und es ist offenbar 
Pt P/ = ]/da 2 + dß 2 -ff dy 2 = dt, 
d. h. das sphärische Bild des Bogenelements ist gleich dem 
Kontingenzwinkel. Daraus folgt die obenerwähnte geo 
metrische Deutung der Gleichung (7), nämlich: 
Satz. Die Krümmung einer Raumkurve in einem 
Punkte P ist gleich dem Verhältnis des sphärischen 
Bildes (dt) des Linienelements (ds) zu diesem Linien 
element selbst. 
§ 4. Das die ßaumkurve begleitende Dreikant. 
Krümmungsmittelpunkt. 
Die Normalebene (§ 2) und die Schmiegungsebene (§ 3) 
in einem Punkte der Raumkurve führen naturgemäß zu einer 
dritten Ebene, nämlich zu der, welche auf den beiden ersten 
senkrecht steht. Wir definieren daher: 
Rektifizierende Ebene im Punkt P einer Raum 
kurve heißt die Ebene durch P, welche zur Normalebene 
und zur Schmiegungsebene senkrecht steht; dieselbe geht 
natürlich durch die Tangente in P. Der Name erklärt sich 
später (§11, Schluß). 
*) Die Bezeichnung „sphärisches Bild“ ist hier im engeren 
Sinne gebraucht. Man kann, wie wir später (§ 9) sehen werden, 
auch mit Hilfe der Hauptnormalen oder Binormalen eine sphä 
rische Abbildung herstellen.