§ 5. Torsion oder zweite Krümmung. 
21 
die Torsion hat also für alle Punkte den Wert Null. Hieraus 
erklärt sich, warum die Raumkurven auch als „Kurven dop 
pelter Krümmung“ bezeichnet werden. Der Name „Torsions 
radius“ für q könnte die Meinung erwecken, als ob q der 
Radius eines Kreises wäre, der eine ähnliche geometrische 
Bedeutung hätte, wie der Krümmungskreis; dem ist aber 
nicht so: q ist eine rein analytische Größe. 
Zur analytischen Darstellung der Torsion benutzen wir 
die oben gemachte Bemerkung, daß dx auch der Winkel 
zweier konsekutiven Binormalen ist. Ihre Richtungskosinus 
sind X,/u,v; X + dl, ¡u + d/x, v + dv. Nach Einl. (9) erhält 
man also für den Torsionswinkel dx 
(2) dt 2 = dX 2 + dfi 2 -f- dv 2 . 
Für den Torsionsradius ergibt sich daher 
1 dx 2 dX 2 + d/x 2 -J- dv 2 
^ q 2 ds 2 ds 2 
Die Werte der Differentiale dX, d¡i, dv sind aus § 4, (3) 
zu bilden, und in (2) und (8) einzuführen. Wir schlagen 
zu diesem Zweck folgenden Weg ein: Da nach Einl. (2) 
X 2 + [x 2 + v 2 = 1, also XdX + jxd/x + vdv — 0 ist, so kann man 
statt (2) schreiben 
^ X 2 + ¡i 1 -f- v 2 X dX -f- fxd/.i -j- vdv 
XdX + jud/x + vdv dX 2 + dfx 2 -f- dv 2 
Nach Einl. (14) ist dann auch 
(4) dx 2 = 
JX V 
4_ 
v X 
2 
I 
X ¡X : 2 
'' d/x dv 
\ 
dv dX 
T 
dX dju\ 
Nun erhält man, wenn zur Abkürzung 
dx dy dz 
J = d 2 x d 2 y d 2 z 
d 3 x d 3 y d ?1 z 
gesetzt wird, durch eine ganz elementare Rechnung aus 
§ 4, (3) die Gleichung 
v 
Jr 2 dz