§ 6. Die Formeln von Frenet. Schmiegungskugel. 
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Neigungswinkel in F' kleiner als in P (vergl. Fig. 4). Die 
Binormale und mit ihr die Schmiegungsebene hat sich also 
für einen Beobachter, der in der positiven Tangentenriehtung 
(PT in Fig. 4) blickt, im Sinne des Uhrzeigers um die 
X-Achse, d. h. die Kurventangente gedreht. In diesem 
Fall haben wir aber nach der Festsetzung des § 5 positive 
Torsion, im entgegengesetzten negative Torsion. Das positive 
Vorzeichen von o in (8) entspricht also der in § 5 ge 
troffenen Festsetzung über das Vorzeichen der Torsion. Mul 
tipliziert man die Gleichung (8) der Reihe nach mit l, m, n 
und addiert, so erhält man nach Einsetzen der aus § 4, (3) 
gebildeten Differentiale von l, ¡x, v die Gleichung (6) des § 5 
mit dem dort vorläufig gesetzten Minuszeichen. 
Um endlich dl, dm, dn zu bilden, differenziere man 
die Gleichung l = jay— vß [Einl. (13)] und ersetze die Diffe 
rentiale durch ihre Werte aus (7) und (8); man erhält 
~ = — (na — mv) + — (my — nß), 
dsr K Q 
oder nach Einl. (13) 
(9) 
dl 
ds 
dm iß 
ds \r 
/x\ dn 
q)’ ds 
Die beiden letzten Gleichungen folgen aus der ersten 
durch cyklische Vertauschung. 
Die Gleichungen (7) —(9) heißen die Frenetschen 
(auch Serretschen) Gleichungen. Als Anwendung der 
selben behandeln wir die 
Aufgabe. Gesucht ist der Mittelpunkt (X', Y', 
Z') und der Radius Fd der Schmiegungskugel oder 
oskulierenden Kugel, d. h. der Kugel, die durch 
die vier konsekutiven Punkte P, F', P", F'" der 
Raumkurve geht. 
Der Mittelpunkt der Schmiegungskugel ist offenbar der 
Schnittpunkt der drei Mittellotebenen auf P F', F' F", F"F"'. 
Diese fallen aber, wie in § 2, Schluß bemerkt, in der Grenze 
mit den Normalebenen der Punkte P, F', F" zusammen, 
imd wir bestimmen daher den Mittelpunkt der oskulierenden 
Kugel als den Schnitt dreier konsekutiven Normalebenen. 
Wenn der Punkt (X', Y', Z') in der Normalebene von P 
liegt, so ist nach § 2, (9)