§ 8. Die natürlichen Gleichungen einer Raumkurve. 29 
Satz 3. Die Hauptnormale ist das Lot vom Kurven 
punkt auf die Cylinderachse oder die rektifizierende Ebene 
ist Tangentialebene an den Cylinder. 
Satz 4. Die Krümmung und ebenso die Torsion ist 
konstant; die Kurve ist in sich verschiebbar; denn ist s 
der Parameter, so sind alle Vierecke P P , P // P" / kongruent. 
Satz 5. Der Padius der Schmiegungskugel ist gleich 
dem Krümmungsradius. 
Satz 6. Der Krümmungsmittelpunkt fällt mit dem 
Mittelpunkt der Schmiegungskugel zusammen. Der Ort der 
Krümmungsmittelpunkte ist eine Schraubenlinie mit der 
selben Ganghöhe auf einem Kreiscylinder mit derselben 
Achse und dem Radius a ctg 2 d = r — a. 
§ 8. Die natürlichen Gleichungen einer ßaumkurve. 
Auf den Eigenschaften des Dreikants und auf den 
Eren et sehen Gleichungen beruht der folgende wichtige 
Satz. Eine Raumkurve ist (abgesehen von 
ihrer Lage im Raum) eindeutig bestimmt, wenn der 
Krümmungsradius r und der Torsionsradius q als 
Funktionen der Bogenlänge s gegeben sind, also 
durch die Gleichungen 
(1) r=cp{s), Q = yj{s). 
Beweis: Die Lage einer Kurve im Raum ist eindeutig 
bestimmt, wenn wir festsetzen, daß einem bestimmten Wert s 0 
des Parameters ein Punkt mit den Koordinaten x 0 , y 0 , z Q 
entspricht, und wenn für diesen Punkt die Lage des die 
Raumkurve begleitenden Dreikants gegeben ist. Es seien 
für s = s 0 die Werte der neun Kosinus a, ß, y; X, ju, v; l, m, n 
gegeben; dieselben seien a 0 , ß 0 , y 0 ; ? H) , y () , v 0 ; l 0 , m 0 , n () ; 
sie genügen den Gleichungen (10) und (11) der Ein 
leitung. Unter dieser Voraussetzung ist das simultane 
System linearer Differentialgleichungen § 6, (7)—(9) zu in 
tegrieren. Wir zeigen zunächst, daß ein System von Inte 
gralen dieser Gleichungen a, ß, y; X, ¡li, v; l, m, n (kurz 
a, X, l), das für s = s 0 die Werte a 0 , ß 0 , y 0 ; X 0 , ¡u 0 , v 0 ; 
l 0 ,m 0 ,n 0 annimmt, den Gleichungen Einl. (11) genügt, daß also 
diese neun Integrale als Richtungskosinus dreier aufeinander