§ 10. Kaumkurven und abwickelbare Flächen. 39 
Geraden derselben ihre Erzeugenden. (Näheres s. II. Bd., 
§ 31 f.) Diese Regelflächen zerfallen in zwei Klassen: 
1. nicht abwickelbare Eegelflächen, auch wind 
schiefe Flächen genannt, sind solche Regelflächen, bei 
denen sich je zwei konsekutive Erzeugenden nicht schneiden, 
und die nicht in eine Ebene abgewickelt werden können 
(z. B. hyperbolisches Paraboloid), 
2. abwickelbare Flächen sind solche Regelflächen, 
bei denen je zwei konsekutive Erzeugenden sich schneiden, 
und die in eine Ebene abgewickelt werden können. 
Wir haben uns hier nur mit den abwickelbaren Flächen 
zu beschäftigen, die in engster Beziehung zu den bisher be 
trachteten Raumkurven stehen. Diese Beziehung soll nun 
Aveiter dargelegt werden. 
Die Schnittpunkte P, P 2 von je zwei konsekutiven 
Erzeugenden, oder je drei konsekutiven Ebenen des Systems 
bilden eine stetige Folge von Punkten, also eine Raumkurve, 
welche die Rückkehrkante oder Kuspidalkante der 
abwickelbaren Fläche heißt. Auf jeder Erzeugenden der 
Fläche liegen zwei konsekutive Punkte der Rückkehrkante; 
z. B. auf g s die Punkte P 2 und P 3 . Die Erzeugenden 
der Fläche sind daher Tangenten der Rückkehr 
kante. Auf jeder Ebene des Systems (Tangentialebene 
der Fläche) liegen drei konsekutive Punkte der Rückkehr 
kante, z, B. auf P 2 die Punkte P, Pv P. ; die Tangential 
ebenen der Fläche sind daher die Schmiegungs 
ebenen der Rückkehrkante. Umgekehrt sieht man, daß 
die Tangenten einer beliebigen Raumkurve die Erzeugenden 
einer abwickelbaren Fläche bilden, und daß die Schmiegungs 
ebenen der Kurve diese Fläche berühren oder, wie man 
sagt, einhüllen. Die Fläche ist also die Eingehüllte 
oder Enveloppe jener Schmiegungsebenen. Jede Erzeugende 
wird durch den Berührungspunkt mit der Rückkehrkante in 
zwei Teile geteilt. Jeder Teil erzeugt einen Mantel der 
abwickelbaren Fläche; die beiden Mäntel hängen längs der 
Rückkehrkante zusammen und berühren sich dort; die Rück 
kehrkante bildet eine Art Schneide oder Grat der Fläche. 
Man beweist ohne Schwierigkeit, daß jede Ebene, sofern sie 
nicht durch eine Erzeugende geht, die Fläche nach einer 
Kurve schneidet, die im Schnittpunkt mit der Rückkehr-