§11. Abwickelbare Flächen, erzeugt durch die Ebenen etc. 43
§11. Abwickelbare Flächen, erzeugt durch die Ebenen
des begleitenden Dreikants.
Die allgemeinen Betrachtungen des § 10 sollen nun an
gewendet werden auf die abwickelbaren Flächen, welche
entstehen, wenn das begleitende Dreikant längs der Kurve
hingleitet. Die Schmiegungsebene, die Normalebene und die
rektifizierende Ebene erzeugen dann offenbar je eine ab
wickelbare Fläche und es sollen nun die Gleichungen dieser
Flächen und ihrer Rückkehrkanten (§ 10) bestimmt werden.
Wir setzen dabei wieder voraus, daß die Koordinaten eines
Punktes {x, y, zj der Raumkurve in Funktion eines variabeln
Parameters u gegeben sind.
1. Enveloppe der Schmiegungsebenen (abwickel
bare Tangentenfläche).
Zwei konsekutive Schmiegungsebenen schneiden sich in
einer Tangente der Kurve; die gesuchte Fläche wird daher
erzeugt durch die Kurventangenten. Ist v der Abstand des
variabeln Punkts (X, Y, Z) der Tangente vom Berührungs
punkt, so sind nach § 2, (7) die Gleichungen der Tangente
im Punkt {x, y, z)
(1) X = x-\-va, Y=y- i r vß, Z=z-\-vy.
Ist u konstant, v dagegen variabel, so durchläuft der
Punkt (X, Y, Z) die Tangente im Punkt {x,y,z); ändern
sich u und v gleichzeitig, so wandert der Punkt {X, Y, Z)
auf allen Tangenten der Kurve, d. h. die Gleichungen (1),
die X, Y, Z als Funktionen der beiden variabeln Parameter
darstellen, ergeben den geometrischen Ort aller Tangenten,
oder sie sind die Gleichungen der abwickelbaren
Tangentenfläche. Die Elimination der Parameter u und v
aus (1) würde die Flächengleichung in der gewöhnlichen
Form F (X, Y, Z) = 0 geben. Für viele Untersuchungen
ist es aber zweckmäßiger, die Form (1) beizubehalten (vergl.
II. Bd., Abschu. I). Die Rückkehrkante der abwickelbaren
Tangentenfläche ist natürlich die Raumkurve selbst,
2. Enveloppe der Normalebenen (abwickelbare
Polarfläche).
Da die Normalebene in einem Punkt P und die Normal
ebene in einem benachbarten Punkt beide auf der Schmiegungs
ebene in P senkrecht stehen, und beide (als Grenzgebilde
