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I. Abschnitt. Die Raumkurven. 
von zwei konsekutiven Mittellotebenen) durch den Krüm 
mungsmittelpunkt hindurchgehen (vergl. § 2, Schluß), so 
geht die Schnittgerade der beiden konsekutiven Normalebenen 
durch den Krümmungsmittelpunkt und steht in ihm senk 
recht auf der Schmiegungsebene, ist also parallel der Bi- 
normalen; sie heißt auch wohl die Krümmungsachse des 
Punktes P. Die abwickelbare Polarfläche ist daher der Ort 
der Krümmungsachsen. Da x-\~rl, y-{~rm, z-\-rn nach 
§ 4, (7) die Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts sind, 
so ist nach obigen Bemerkungen die Gleichung der Krüm 
mungsachse im Punkte P 
(2) X= x-\-rl-\-v/1, Y=y-\-rm-\-Vfi, Z=z -\-rn-\-vv. 
Ist hier u konstant, v veränderlich, so durchläuft der 
Punkt (X, Y, Z) die Krümmungsachse des Punktes (x, y, z). 
Sind u und vbeide veränderlich, so stellen die Gleichungen(2) 
den Ort aller Krümmungsachsen, d. h. die abwickelbare 
Polarfläche dar. 
Um die Gleichung ihrer Eückkehrkante zu finden, hätten 
wir den Schnittpunkt dreier konsekutiven Normalebenen zu 
bestimmen. Wir wissen aber schon aus § 6, daß dies der 
Mittelpunkt der Schmiegungskugel ist; dort ist auch 
die Rechnung durchgeführt. Wir entnehmen also aus dem 
dort gefundenen Resultat § 6, (13) die Gleichung der Rück 
kehrkante der abwickelbaren Polarfläche in der Form 
„ , , dr, , dr 
X^x + rl — Q-l, Y=y + rm— q j-p, 
(3) 7 ^ *• 
Z=z J r rn — p — v. 
ds 
Zusatz. Da die Normalebene eines Punktes P der 
Raumkurve die abwickelbare Polarfläche längs einer Er 
zeugenden (Krümmungsachse) berührt, so berühren auch alle 
Normalen in P die abwickelbare Polarfläche, und zwar ist 
für die Hauptnormale der Berührpunkt der Krümmungs 
mittelpunkt. 
3. Enveloppe der rektifizierenden Ebenen (rek 
tifizierende Abwicklungsfläche). 
Die Gleichung der rektifizierenden Ebene war 
(X — x) l + {Y — y)m-\-{Z — z)n= 0. 
(4)