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I. Abschnitt. Die Eaumkurven. 
bogen um P als Mittelpunkt. Das Bogenelement Q Q', oder 
die Tangente der Evolvente steht daher senkrecht auf P Q, 
d. h. auf der entsprechenden Tangente der Evolute. Es 
folgt also der 
Satz 1. Die Evolventen einer Raumkurve sind 
die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden der ab 
wickelbaren Tangentenfläche dieser Kurve*), oder 
die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden einer 
abwickelbaren Fläche sind die Evolventen der Rück 
kehrkante. 
2. Gegeben die Evolvente, gesucht die Evolute. 
Aus dem vorhergehenden folgt, daß man zu einer ge 
gebenen Kurve als Evolvente eine Evolute erhält, indem 
man durch die Punkte der Evolvente Normalen so zieht, 
daß sie eine abwickelbare Fläche bilden. Man zieht also 
z. B. in einem Punkt Q der Evolvente eine beliebige 
Normale, bringt sie zum Schnitt mit der Normal ebene des 
konsekutiven Punktes Q' in P'; verfährt ebenso mit Q', Q"u.s.f. 
Die Rückkehrkante der so entstandenen abwickelbaren Fläche 
ist alsdann eine Evolute. Da in Q unendlich viele Nor 
malen möglich sind, gibt es zu jeder Evolvente auch un 
endlich viele Evoluten. 
Es seien nun wieder die Koordinaten x, y, z eines 
Punktes Q der Evolvente als Funktionen des Parameters u 
gegeben. Wir ziehen nun in der Normalebene des Punktes Q 
einen beliebigen Strahl QP, mit den Richtungskosinus a, b,c, 
der mit der Hauptnormalen (l, m, n) in Q den Winkel o 
bilde, und ebenso in dem konsekutiven Punkt Q' einen 
Strahl, der mit der Hauptnormalen dieses Punktes den 
Winkel o-\-do bildet. Stellt man dann die Bedingung auf, 
daß diese zwei Strahlen sich schneiden, so ergibt sich o in 
Funktion von u, und damit die gesuchte abwickelbare Fläche 
mit ihrer Rückkehrkante. Da 
al-\-hm -\-cn = cos o, a?i,-\-ifx-\-cv = sino, 
so erhält man für a, h, c 
a = l cos o + X sin o, h = m cos o + /jl sin o, c = n cos o + v sin o. 
Sind X, Y, Z die Koordinaten von P, so hat man, wenn 
v einen Proportionalitätsfaktor bedeutet, 
*) d. h. sie schneiden diese Erzeugenden überall senkrecht.