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I. Abschnitt. Die Raumkurven. 
alle den unendlich fernen Kugelkreis und sind 
Mantellinien des Kegels, welcher vom Punkt (x 0 , y 0 ,z 0 ) 
den unendlich fernen Kugelkreis projiziert. Die 
Minimalgeraden sind alle imaginär. 
Ist v ein veränderlicher Parameter, so stellen die 
Gleichungen 
(6) x = x 0 + av, y = y 0 + ßv, 0 = # o + r v 
eine Minimalgerade durch den Punkt {x 0 , y 0 , 0 O ) dar, 
wenn die Größen a, ß, y der Gleichung 
(7) a 2 + ß2 + ?; 2 = 0 
genügen; denn die Gleichung (5) ist dann durch die aus (6) 
sich ergebenden Werte der Koordinaten x, y, 0 für alle 
Werte von v erfüllt. 
Man gelangt noch auf eine andere Art zu den Minimal 
geraden. Man kann nämlich jede Fläche zweiter Ordnung 
als Kegelfläche mit zwei Scharen von Erzeugenden auffassen, 
wenn man auch imaginäre Erzeugende zuläßt. Beim ein- 
mantligen Hyperboloid z. B. sind diese Scharen reell, beim 
Ellipsoid dagegen und speziell bei der Kugel imaginär. Die 
unendlich fernen Punkte dieser imaginären Erzeugenden der 
Kugel bilden nun der Definition nach den unendlich fernen 
imaginären Kugelkreis. 
Daraus folgt 
Satz 2. Die imaginären Erzeugenden der Kugel 
sind lauter Minimalgeraden. Die durch einen be 
liebigen Raumpunkt mit jenen Erzeugenden ge 
zogenen Parallelen projizieren den unendlich fernen 
Kugelkreis und bilden einen Kegel zweiter Ordnung 
(Richtkegel); seine Mantellinien sind die durch jenen 
Punkt gehenden Minimalgeraden. 
Wir zeigen dies auch analytisch und gelangen dadurch 
zu einer zweiten analytischen Dar Stellung der Minimal- 
geraden. Da der Mittelpunkt und Radius der Kugel un 
wesentlich sind, gehen wir der Einfachheit halber aus von 
der Kugel 
(8) x 2 -\-y 2 -f# 2 =l. 
Um die Gleichungen der geradlinigen Erzeugenden zu 
erhalten, setzen wir statt (8) die beiden Gleichungen