§ 18. Minimalgeraden, Minimalkurven. 
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(9) 
x-\-iy 
1 -\-z 
1 — z 
X — iy 
oder 
(10) 
Mi. 
?si kj* 
II 
1+0 
x-\-iy 
= u 
1 
V 
Die Gleichungen (9) stellen für jeden Wert von u eine 
auf der Kugel (8) liegende Gerade dar, ebenso (10) für jeden 
Wert von v. Die Gleichungen (9) definieren daher die erste 
Schar der imaginären Kugelerzeugenden, die Glei 
chungen (10) die zweite Schar. Man sieht sofort, daß 
beide Scharen Minimalgeraden sind; denn die durch den 
Ursprung parallel zu der Schar (9) gezogenen Parallelen 
haben die Gleichungen: 
(11) 
x 4-1 y z 
~ = — — u, 
Z X — ly 
und diese Geraden liegen alle auf dem Kegel x 2 + y 2 -f- z 2 = 0. 
Dasselbe ergibt sich für die Schar (10). Aus (11) folgt aber 
- I 
x:y:z = —^—: ——-—-:u oder, wenn w einen Proportio- 
u u 
nalitätsfaktor bedeutet, 
ni’j ana] 
(12) x = — (l m 2 ) , y = ~Y (1 +^ 2 ), z = 
Diese Gleichungen sind mit (4) vollkommen äquivalent, 
und sind daher die Gleichungen der durch den Ur 
sprung gehenden Minimalgeraden; jedem Werte von u 
in (12) entspricht eine einzelne Minimalgerade. Für die 
durch den Raumpunkt (x 0 , y () , z 0 ) gehenden Minimalgeraden 
erhält man die Gleichungen 
(13) x=xq + ^{i — u 2 ), y = y 0 +Yi 1 + u2 )’ ^=^0 + “; 
denn (5) ist durch die aus (13) zu entnehmenden Werte 
identisch erfüllt. Jedem Wert von u in (13) entspricht eine 
einzelne Minimalgerade; w ist dabei der Parameter. 
Bemerkung. An die Gleichungen (9) und (10) der 
imaginären Kugel erzeugenden schließt sich eine wichtige 
Darstellung der Koordinaten x, y, z der Kugel als Punktionen